2013届高考数学总复习导学 第六篇 数列第3讲 等比数列及其前n项和 理 新人教A版.doc

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第3讲等比数列及其前n项和
【2013年高考会这样考】
1．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定．
2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用．
【复习指导】
本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n项和公式，求和时要注意验证公比q是否为1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用．

基础梳理
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项
若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前n项和：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，
同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，
两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)(q≠1)．
两个防范
(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
三种方法
等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜1，那么等比数列{an}是()．
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定数列的增减性
解析当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列，
当q＜0，数列{an}为摆动数列．
答案D
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q等于()．
A．－eq\f(1,2)B．－2C．2D.eq\f(1,2)
解析由题意知：q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).
答案D
3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()．
A．4B．8C．16D．32
解析由等比数列的性质得：a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝16.
答案C
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)＝()．
A．－11B．－8C．5D．11
解析设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴eq\f(S5,S2)＝eq\f(a11－q5,1－q)·eq\f(1－q,a11－q2)
＝eq\f(1－q5,1－q2)＝eq\f(1－－25,1－4)＝－11.
答案A
5．(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
解析设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋eq\f(9×8,2)d＝4×1＋eq\f(4×3,2)d，所以d＝－eq\f(