学案14 数列求和及综合应用.ppt

1.数列通项的求法,由递推关系式确定数列的通项.
2.数列的性质、通项、求和.
3.数列与不等式、数列与函数、数列与方程.
4.数列与数学归纳法.
1.(2009·四川)等差数列{an}的公差不为零,首项a1=
1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和
是()
A.90B.100C.145D.190
解析由题意知,(a1+d)2=a1(a1+4d),即

∴d=2a1=2.
∴S10=10a1+=10+90=100.2.(2009·安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,
a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到
最大值的n是()
A.21B.20C.19D.18
解析∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d,
∴99-105=3d,∴d=-2.
又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39.
∴Sn=na1+
=-n2+40n=-(n-20)2+400.
∴当n=20时,Sn有最大值.3.(2009·江西)公差不为零的等差数列{an}的前n项
和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于
()
A.18B.24C.60D.90
解析由得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d).
∵d≠0,∴2a1+3d=0.①
∵S8=8a1+d=32,∴2a1+7d=8.②
由①②得∴S10=-3×10+×2=60.4.(2009·湖北)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:()

他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能
够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图
(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()
A.289B.1024C.1225D.1378
解析由图形可得三角形数构成的数列通项an=
同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,只
有1225满足a49==b35=352.

题型一数列与函数、方程的综合应用
【例1】设p、q为实数,是方程x2-px+q=0的两个
实根.数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=
3,4,…).
(1)证明:
(2)求数列{xn}的通项公式;
(3)若p=1,q=,求{xn}的前n项和Sn.(1)证明由求根公式,不妨设,则

(2)解设xn-sxn-1=t(xn-1-sxn-2),则
xn=(s+t)xn-1-stxn-2,由xn=pxn-1-qxn-2,
得消去t,得s2-ps+q=0,
∴s是方程x2-px+q=0的根.
由题意可知
①当时,此时方程组

∴{xn-t1xn-1}、{xn-t2xn-1}分别是公比为的
等比数列.由等比数列的性质可得

两式相减,得

②当时,即方程x2-px+q=0有重根,
∴p2-4q=0,即(s+t)2-4st=0,得(s-t)2=0,
∴s=t.不妨设s=t=由①可知(3)解把p=1,q=代入x2-px+q=0,得
x2-x+=0,解得【探究拓展】本题主要考查数列的递推公式、数列求
和以及数列与方程的综合题,考查学生分析问题、解
决问题以及推理论证的能力.
变式训练1已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原
点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,
点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn
＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m.解(1)设二次函数为f(x)=ax2+bx(a≠0),
则f′(x)=2ax+b，
由于f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，
得Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5=1.
所以an=6n-5(n∈N*).(2)由(1)得知

因此,要使(n∈N*)成立,m必须且仅需
满足即m≥10，故满足要求的最小正整数m为
10.题型二数列与不等式的综合应用
【例2】(2009·江西)各项均为正数的数列{an},a1=a,
a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有

(1)当a=,b=时,求通项an;
(2)证明:对任意a，存在与a有关的常数使得对于
每个正整数n,都有
(1)解由

将a1=,a2=代入上式化简得

故数列为等比数列，从而
即可验证满足题设条件.(2)证明由题设的