逆向思维策略在解数学题中的应用.docx

编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径学海无涯苦作舟页码：逆向思维策略在解数学题中的应用在解答数学问题的过程中经常接触到的不是标准的模式化了的问题要顺利地解答这些问题就需要进行创造性的思维寻求一种解题策略．而对于某些问题当运用正面思维策略很难得出解题途径甚至有时还是不可能的这时可以改从目标的“反面”去思维间接地解答问题．这种解题策略称为逆向思维策略或正难则反．例1、设a、b、m、n、p均为实数且满足ap–2bn+cm=0与b2–ac<0求证mp–n2的值为零或负数．采用正面思维时很难得到解题思路可改用逆向思维策略如下：假设mp–n2为正数即mp–n2>0则有mp>n2≥0由b2–ac<0得ac>b2≥0∴acmp>b2n2①式又由ap–2bn+cm=0可得bn=(ap+cm)/2②式将②代入①得acmp>(ap+cm)2/4化简整理得(ap–cm)2<0这里产生了矛盾所以原命题成立．逆向思维解题策略的应用很广泛其基本特点是：从已有思路的反方向去思考问题顺推不行考虑逆推；直接解决不行想办法间接解决；正命题研究过后研究逆命题；探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性．逆向思维反映了思维过程的判断性、突变性与反联结性有利于克服思维定势的保守性同时往往能导致某些意想不到的效果．从而促进数学创造的产生．运用逆向思维策略常有以下几种形式：一、反证法．反证法又可以分为归谬法和穷举法两种所谓归谬法就是当结论的否定方面只有一种情况时只要把这种情况否定就能肯定原命题的结论正确．而穷举法是当命题结论所否定的方面有两种以上的情况时必须把其所有情况都驳倒才能肯定原命题的结论正确一般来讲反证法常用来证明“否定性”命题“唯一性”命题“至多”、“至少”命题某些“无限”命题和直接证明难以下手的命题等．例2、已知a、b、c都是小于1的正数求证：乘积(1–a)b(1–b)c(1–c)a不能同时大于．我们采用反证法来加以证明．证明：假设(1–a)b>(1–b)c>(1–c)a>同时成立．以上第一式两边同乘以a得：(1–a)ab>①式考虑到(1–a)a≤两边同乘以b得：(1–a)ab≤②式由①、②式得<即a<b类似地可得b<cc<a综合以上结果有：a<b<c<a这显然是不成立的．故原命题正确．这样在肯定命题的条件的前提下并否定命题的结论推出一个导致逻辑矛盾的结果从而肯定命题为真是反证法证题的全过程．二、同一法同一法常用于证明某图形具有某种性质的命题多用于几何方面．当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时可以作出具有所示性质的图形然后证明所作的图形跟所给的某图形就是同一个把它们等同起来这种证法叫做同一法．例3、以正方形ABCD的一边CD为底向内作等腰ΔECD使其两底角为15°则ΔABE是等边三角形．证明：以AB为边向正方形内作等边ΔABE'我们来证明点E'跟E同为一点．(图1)所示DC显然ΔBCE'应是等腰三角形它的顶角：E∠CBE'=90°–∠ABE'=30°所以它的底角∠BCE'=(180°–30°)=75°．E'从而∠DCE'=15°仿此有∠CDE'=15°．AB∴点E'与E重合ΔABE是等边三角形．可以用同一法证明的命题实际上是依据这(图1)样的事实：具有所示性质的图形是唯一的．三、淘汰法淘汰法就是考虑某个问题中的一切情形通过去掉其中不合要求的部分而得到合乎要求的部分的一种解题方法．例4、从8位男生5位女生．组成的集体中选出3名代表求至少有一位女生的选法有多少种？用正面解法求出是：(种)而当用淘汰法求解时只要考虑到任选三名代表的选法减去所选代表全是男生的选法即：(种)显然只要得当地运用淘汰法往往可使复杂的问题得到