贴现算术亚式期权定价及其在金融风险管理中的应用.pdf

第5期华东师范大学学报(自然科学版)No.5
2007年9月JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience)Sept.2007

文文文章章章编编编号号号:1000-5641(2006)05-0089-03

¤简报¤
贴贴贴现现现算算算术术术亚亚亚式式式期期期权权权定定定价价价及及及其其其在在在金金金融融融风风风险险险管管管理理理中中中的的的应应应用用用

夏晓辉,周斌
(华东师范大学统计系,上海200062)

中图分类号:O211.6文献标识码:A

0引言
金融衍生产品具有规避风险、套利、降低融资成本、增加投资报酬以及作为资产负债管理的重要功
能,因此被广泛应用于金融市场的风险管理[1].金融衍生产品的核心是期权定价,针对金融资产的支付方
式,几何亚式期权与算术亚式期权是规避风险的有力工具.但考虑到有效对冲一定时期内资产现值变动而
引起的金融风险,本文考虑引入一种新型的贴现算术亚式期权产品.
1贴现算术亚式期权的定义
假设贴现算术亚式期权的标的资产价格S服从几何布朗运动[1;2]:

dS=¹Sdt+σSdz(¿);(1)

这里z(¿)是标准的Gauss-Wiener过程,¹;σ分别是标的资产价格的即时均值和标准差.
若标的资产支付红利,利率为g,则有[3]
1
S(T)=Sexp[(r¡g¡σ2)T+σz(T)];(2)
2
其中r表示无风险利率,S表示标的资产初始价格,t<T<t¤,t;t¤分别表示期权的即期和成熟期时刻.
将(2)式中的T时刻标的资产的价格S(T)贴现到初始时刻t,有
1
S(T)=Sexp[(¡g¡σ2)T+σz(T)]:(3)
02
以步长h从(2)式中取n个价格：

ai=S[¿¡(n¡i)h];i=1;2;3;:::;n;(4)

其中¿=t¤¡t,为成熟期.以步长h从(3)式中取n个价格：
1
b=S[¿¡(n¡i)h]=Sexpf(¡g¡σ2)[¿¡(n¡i)h]+σz[¿¡(n¡i)h]g;i=1;2;3;:::;n:(5)
i02
定义离散的贴现算术亚式期权到期支付额为

r¿
PFDAA=emax[!DAA(n)¡!K0;0];(6)

收稿日期:2006-10
基金项目:国家自然科学基金(10671072);上海市曙光计划项目(04SG27);教育部高等学校博士点
基金(20060269016)
第一作者:夏晓辉(1981{),男,硕士.
通讯作者:周斌(1954{),男,博士,副教授.
90华东师范大学学报(自然科学版)2007年

其中!为示性函数(若为看涨期权取1,若为看跌期权取¡1),K为贴现亚式算术期权的执行价格,

Xn
¡r¿
DAA(n)=bi=n;K0=eK:
i=1

取¿=t¤¡t=nh;¿固定,令n!1,则有DAA(n)!CDAA(t;t¤),

Zt¤
¤1
CDAA(t;t)=¤S0(T)dT:(7)
t¡tt

将连续的贴现算术亚式期权的到期支付额定义为

r¿
PFCDAA=emax[!CDAA¡!K0;0]:(8)

2贴现算术亚式期权的定价
引引引理理理2.1服从如(1)式的几何布朗运动的标的资产价格算术平均值可用其几何平均值近似表示为[4]

AA(n)=»¸GA(n);(9)

其中AA(n),GA(n)分别表示(4)式中各数的算术平均值和几何平均值,=»表示近似相等,

XnXn
222
¸=1+E(º+º);º=1=2Var(lna)=[ln(ai=aj)]=(2n):
i=1j=1

引引引理理理2.2标的资产价格服从如(1)式中几何布朗运动的离散欧式算术亚式期权价格可近似表示
为[3;5]

aagap¡r¿
C=!¸SAN(!da+!σTn)¡!KeN(!da);(10)

¸Sσ2pga12
其中da=fln(K)+(r¡g¡2)T¹g=(σTn);A=expfr(T¹¡¿)¡gT¹+2σ(Tn¡T¹)g,

Sσ2ph(n¡1)(n¡1)(4n+1)
d=fln()+(r¡g¡)Tg=(σT);T=¿¡;T=¿¡h:(11)
nK2¹n¹2n6n

定定定理理理2.1若取均值的各数定义服从形为(5)式的几何布朗运动,则离散的欧式贴现算术亚式期权的
定价公式可近似表示为

ddp¡r¿
C=!¸dSAN(!dd+!σTn)¡!KeN(!dd);(12)

其中

1p
Ad=expf¡gT+σ2(T¡T)g;d=[ln(S¸er¿=K)¡(g+σ2=2)T]=(σT);(13)
¹2n¹dd¹n
XnXn
222
¸d=1+E(ºb+ºb);ºb=1=2Var(lnb)=[ln(bi=bj)]=(2n):
i=1j=1
证明(6)式对应的期权价格相当于er¿倍类似于(10