一类广义耦合的非线性波动方程组时间周期解的存在性Ξ.pdf

应用数学和力学第卷第期年月
,246(20036)应用数学和力学编委会编
AppliedMathematicsandMechanics重庆出版社出版

文章编号:1000-0887(2003)06-0595-10
一类广义耦合的非线性波动方程组时间
周期解的存在性X

1,23
房少梅,郭柏灵

(1.广东韶关学院数学系,广东韶关512005;
2.中国工程物理研究院研究生部,北京100088;
3.北京应用物理与计算数学研究所,北京100088)

(我刊编委郭柏灵来稿)

摘要:研究了一类广义耦合的非线性波动方程组关于时间周期解的问题·首先利用Galerkin方
法构造近似时间周期解序列,然后利用先验估计和Laray-Schauder不动点原理,证明近似时间周期
解序列的收敛性,从而得到该问题时间周期解的存在性·

关键词:非线性波动方程组;先验估计;时间周期解
中图分类号:O175.25;O175.29文献标识码:A
引言

文[1]给出了如下非线性方程组的光滑解的存在性

ut=uxxx+buux+2vvx,(1)

vt=2(uv)x·(2)
该方程组描述了内长波相互作用的过程·ItoM.提出了一个构造循环算子的方法[2],由此推
出方程(1)～(2)具有无穷多个对称和运动常数·P.F.He[3]得到了耦合非线性KdV方程组[4]
的光滑解的存在性

ut=a(uxxx+buux)+2bvvx,(3)

vt=-vxxx-3uvx,(4)
其中a和b是常数·
我们注意到M.E.Schonbek[5]对于类似的耦合非线性方程系统[6]

ut=uxxx-uux-vx,(5)

vt=-(uv)x(6)
使用抛物正则化方法和L1里弱紧集的Dunford定理证明了它的弱解的整体存在性·
本文,我们研究了如下具有周期边界条件的耗散耦合非线性波动方程的时间周期解

ut+f(u)x-αuxx+βuxxx+2vvx=G1(u,v)+h1(x),(7)

X收稿日期:2001-05-28;修订日期:2003-03-03
作者简介:房少梅(1964—),女,安徽淮北人,副教授,博士,研究方向:无穷维动力系统与计算可视化
(E-mail:[e-mail])·

595

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695房少梅郭柏灵

vt-γvxx+(2uv)x+g(v)x=G2(u,v)+h2(x),(8)
u(x,t+ω)=u(x,t),v(x,t+ω)=v(x,t)x∈R,t∈R,(9)
u(x+D,t)=u(x-D,t),v(x+D,t)=v(x-D,t)x∈R,t∈R,(10)
其中ω>0、D>0、α>0、β≠0、γ>0是实数·函数u(x,t)、v(x,t)是关于时间t的周期
函数,其周期同为ω;并且关于空间变量x,函数u(x,t)、v(x,t)也是周期的,f(u)、g(v)、

G1(u,v)、G2(u,v)为已知的实值函数·我们证明了非线性波动方程组(7)～(10)时间周期强
解的存在性·

2pm
为方便起见,我们用‖·‖表示‖·‖L,用‖·‖p表示‖·‖L,用‖·‖m表示‖·‖H,
Ω=(-D,D),t≥0,ω>0·

本文中,L2(Ω)是具有如下内积

(u,v)=uvdx
∫Ω
的Hilbert空间·
设X是Banach空间,我们定义CK(ω,X)是X中具有1到K阶导数的周期函数(周期为
ω),其范数定义如下:
K
Ki
‖u‖C(ω,X)=sup‖Dtu‖X·
≤≤ω6
0ti=1

用Lp(ω,X)(1≤p<∞)表示X中具有模
ω1/p
p
‖u‖L(ω,X)=‖u‖X≤∞(1≤p<∞),
p∫0

‖u‖L(ω,X)=sup‖u‖X
∞0≤t≤ω
的时间周期为ω的函数的集合·

1近似解的存在性

我们运用Galerkin方法和Laray-Schauder不动点定理证明方程(7)～(10)的近似时间周期
解的存在性·

设ωj(x)(j=1,2,⋯)为方程Δωj+λjωj=0具有周期边界条件(9)、(10)对应于特征值
2
λj(j=1,2,⋯)的标准特征函数·在L中生成标准正交基ωj(x)·

设问题(7)～(10)的近似时间周期解uN(x,t),vN(x,t)具有如下形式
NN
αωβω
uN(x,t)=6jN(t)j(x),vN(x,t)=6jN(t)j(x),(11)
j=1j=1
+
其中αjN(t),βjN(t)(j=1,2,⋯,Nj;N=1,2,⋯)是变元t∈R的系数函数·按照Galerkin

方法,系数αjN(t)、βjN(t)必须满足如下的方程(12)～(13):

(uNt+f(uN)