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高中数学用方差看问题
顾洪斌

用几组数据的平均数，可以判断样本的差别。但在有些情况下各组数据平均值相同，这时就不能比较两组数据谁好谁差，这时可以比较他们的稳定性，从而进一步作出评价。
要解决这个问题，方法不止一种。例如，可取各个偏差的绝对值再求和，这虽然能保证各个偏差为非负数，但出现了数学上不便于处理的绝对值问题。如果选用各个偏差的平方和来描述这组数据偏离其平均数的大小，那么不但可以避免正、负相加相互抵消，而且在数学运算中也便于处理。用各个偏差的平方的平均数来描述一组数据偏离其平均数的大小，这就是方差。用公式表示如下：

方差是一组数据中所有的数与该组数据平均数之差的平方的平均值。方差用于表示一组数据的离散程度，也就是数据的波动情况、方差越大，则数据波动越大。方差的算术平方根为该组数据的标准差，现通过一个例子来看方差在实际问题中的应用。
例学校从甲、乙两名优秀选手中选拔一名参加全市中学生射击比赛，学校预先对这两名选手测试了5次。成绩如下表(单位：环)：
甲108999乙1010799根据成绩，请你作出判断，派哪位选手参赛更好，为什么?
分析：判断谁入选，首先应考虑各选手的平均水平，甲、乙两名选手的5次成绩组成一个总体，所以评价哪名选手的成绩好，可以从总体的平均数和方差两个角度来衡量。若选手的成绩总体的平均数较大，则说明该名选手成绩好；若甲、乙选手的总体的平均数相等，则要比较方差。
解：甲的成绩的平均数为：
乙的成绩的平均数为：
甲、乙两名选手的平均成绩都是9，为了选派选手，则还需要比较甲、乙两名优秀选手成绩的方差。
甲的方差为
乙的方差为
因为，甲的方差小于乙的方差，说明乙的波动性大，甲的成绩比较稳定，故应该派选手甲参加更好。
方差体现了随机变量所取的值相对于它平均数的集中与离散、稳定与波动的程度。它是继平均数后的另一种描述随机变量的重要数字特征，在现实生活中有广泛的应用。从上面例子可见，不论在什么现实背景下，比较各组数据时，若平均数没有区别，则需要进—步用方差衡量稳定性，从而作出分析、评述和判断。