高中数学构造向量巧解有关不等式问题专题辅导.doc

用心爱心专心

高中数学构造向量巧解有关不等式问题
陈静

新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：（其中θ为向量a与b的夹角），则，又，则易得到以下推论：
（1）；
（2）；
（3）当a与b同向时，；当a与b反向时，；
（4）当a与b共线时，。
下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。
一、证明不等式
例1已知。
证明：设m=（1，1），，则

由性质，得
例2已知。
证明：设m=（1，1，1），n=（x，y，z），则

由性质
例3已知a，b，c，求证：。
证明：设，，
则

由性质，得
例4已知a,b为正数，求证：。
证明：设

由性质，得

例5设，求证：。
证明：设m=（a,b），n=（c,d），则

由性质，得

二、比较大小
例6已知m,n,a,b,c,d，那么p，q的大小关系为（）
A. B. C.p<q D.p,q大小不能确定
解：设，，则

由性质得

即，故选（A）
三、求最值
例7已知m,n,x,y，且，那么mx+ny的最大值为（）
A. B.
C. D.
解：设p=（m,n），q=（x,y），则
由数量积的坐标运算，得
而
从而有
当p与q同向时，mx+ny取最大值，故选（A）。
例8求函数的最大值。
解：设，则

由性质，得

当
四、求参数的取值范围
例9设x,y为正数，不等式恒成立，求a的取值范围。
解：设，则

由性质，得

又不等式恒成立
故有