【拿高分，选好题第二波】（新课程）高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题2 函数与方程及函数应用》（命题方向把握+命题角度分析，含解析） 苏教版.doc

必考问题2函数与方程及函数应用

【真题体验】
1．(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋1，－1≤x＜0，,\f(bx＋2,x＋1)，0≤x≤1，))其中a，b∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则a＋3b的值为________．
解析因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝eq\f(b＋2,2)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))⇒eq\f(\f(1,2)b＋2,\f(3,2))＝－eq\f(1,2)a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.
答案－10
2．(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1,－x－2a，x≥1))，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析因为函数f(x)在(－∞，1)，[1，＋∞)都是单调函数，所以由f(1－a)＝f(1＋a)得1－a,1＋a分别在(－∞，1)，[1，＋∞)上，
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a＜1,1＋a≥1,21－a＋a＝－1＋a－2a))①
或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≥1，,1＋a＜1，,21＋a＋a＝－1－a－2a，))②
①无解，②解得a＝－eq\f(3,4).
答案－eq\f(3,4)
3．(2012·天津改编)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,|x－4|)x≠4，,ax＝4，))若函数y＝f(x)－2有3个零点，则实数a的值为________．
解析函数y＝f(x)－2有3个零点，即为函数y＝f(x)与y＝2的图象有3个不同的交点，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝2的图象如图，由图象可知a＝2.
答案2

4．(2012·苏州期中调研)已知方程x3＝3－x的解在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(n＋1,2)))内，n∈Z，则n的值是________．
解析令h(x)＝x3－(3－x)＝x3＋x－3，
∵h′(x)＝3x2＋1＞0，∴h(x)在定义域内为增函数，若其有零点则必唯一．
∵h(1)＜0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＞0，∴h(x)＝0的解在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))内，此时n＝2.
答案2
5．(2012·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a，b(0＜b＜a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则eq\f(a,b)的取值范围是________．
解析设切去正方形的边长为x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))，则该长方体外接球的半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(a－2x2＋b－2x2＋x2)，可得r2＝eq\f(1,4)[(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2]＝eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(9x2－4a＋bx＋a2＋b2))，在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))存在最小值时，必有0＜eq\f(2a＋b,9)＜eq\f(b,2)，解得eq\f(a,b)＜eq\f(5,4)，又0＜b＜a⇒eq\f(a,b)＞1，故eq\f(a,b)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).
答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))
【高考定位】
高考对本内容的考查主要有：
(1)函数与方程是A级要求，但经常与二次函数等基本函