【金榜教程】2014高考数学总复习 第7章 第7讲 立体几何中的向量方法配套练习 理 新人教A版.doc

第七章第7讲

(时间：45分钟分值：100分)
一、选择题
1.[2013·西安名校联考]若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则()
A.l∥α B.l⊥α
C.l⊂α D.l与α斜交
答案：B
解析：因为直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B.
2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则()
A.EF至多与A1D，AC之一垂直
B.EF⊥A1D，EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
答案：B
解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(eq\f(1,3)，0，eq\f(1,3))，F(eq\f(2,3)，eq\f(1,3)，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，
eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，
eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·Eeq\o(F,\s\up6(→))＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.
3.若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为()
A.eq\f(4\r(85),85) B.eq\f(\r(69),85)
C.－eq\f(\r(15),15) D.0
答案：C
解析：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2×2－8,2\r(3)×2\r(5))＝－eq\f(\r(15),15).
4.[2013·皖北五校联考]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为()
A.eq\f(\r(6),4) B.－eq\f(\r(6),4)
C.eq\f(\r(10),4) D.－eq\f(\r(10),4)
答案：A

解析：取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，
如图，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，0)，D(0,0,1)，
则Aeq\o(D,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)，1)．
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，
∴BE⊥平面AA1C1C.
∴Beq\o(E,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，0,0)为平面AA1C1C的一个法向量，
∴cos〈Aeq\o(D,\s\up6(→))，Beq\o(E,\s\up6(→))〉＝－eq\f(\r(6),4)，
设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
∴sinα＝|cos|〈Aeq\o(D,\s\up6(→))，Beq\o(E,\s\up6(→))〉|＝eq\f(\r(6),4)，故选A.
5.[2013·江苏模拟]在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是()
A.eq\f(\r(30),10) B.eq\f(1,2)
C.eq\f(\r(30),15) D.eq\f(\r(15),10)
答案：A
解析：建立如图所示的坐标系，设BC＝1，则A(－1,0,0)，F1(－eq\f(1,2)，0,1)，B(0，－1,0)，D1(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，1)，

即eq\o(AF1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，0,1)，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．
∴cos〈