（江苏专用）高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面垂直的判定与性质教案（含解析）-人教版高三全册数学教案.docx

§8.3直线、平面垂直的判定与性质
考情考向分析直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想．

1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．垂线和平面的交点即为垂足．
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α
概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)
(2)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)
(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)
(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)
题组二教材改编
2．[P43练习T2]下列命题中正确的是________．(填序号)
①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；
④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.
答案①②③
解析对于④，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他命题均是正确的．
3．[P45T11]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案(1)外(2)垂
解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.

∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，
∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，
∴AB