高考数学 专题二 第3讲 平面向量（3）复习教学案-人教版高三全册数学教学案.doc

教学内容：平面向量（3）
教学目标：
1平面向量的概念及线性运算
2.平面向量的数量积
3.平面向量与三角函数综合应用
教学重点：
平面向量的数量积和平面向量与三角函数综合应用
教学难点：
平面向量与三角函数综合应用
教学过程：
例题精析
例1、（1）给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为90°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧eq\x\to(AB)上运动．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x、y∈R，则x＋y的最大值是________．

（2）已知△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))·eq\o(GB,\s\up6(→))＝0，则eq\f(1,tanB)＋eq\f(1,tanA)的最小值为________．
解析：（1）设∠AOC＝α(0≤α≤eq\f(π,2))，则∠COB＝90°－α，
∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝cosα·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinα·eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝sinα.))
∴x＋y＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))≤eq\r(2).
答案：eq\r(2)
解析（2）：由eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，知点G是重心，
设BC中点为D，AC中点为E，设GE＝n，GD＝m，则BG＝2n，AG＝2m.
所以tanB＝eq\f(3mn,2n2－m2)，tanA＝eq\f(3mn,2m2－n2)，eq\f(1,tanB)＋eq\f(1,tanA)＝eq\f(m2＋n2,3mn)≥eq\f(2nm,3nm)＝eq\f(2,3).
答案：eq\f(2,3)
变式训练：
(2014·徐州信息卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(tanA＋tanC，eq\r(3))，n＝(tanAtanC－1,1)且m∥n.
(1)求角B；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)因为m∥n，
所以tanA＋tanC＝eq\r(3)(tanAtanC－1)，
所以eq\f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)＝－eq\r(3)，即tan(A＋C)＝－eq\r(3)，
所以tanB＝－tan(A＋C)＝eq\r(3)，
又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).
(2)在△ABC中，由余弦定理有，
cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，
所以a2＋c2＝ac＋4，
由基本不等式，a2＋c2≥2ac，可得ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，取等号，
所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(\r(3),4)×4＝eq\r(3)，
故△ABC的面积的最大值为eq\r(3).
例2、(2014·广州调研)如图，在四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(λ∈R)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形.求：

(1)λ的值；
(2)eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))的值．
解：(1)因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，所以BC∥AD，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(AD,\s\up6(→))|，
因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2