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一类SARS流行病模型的稳定性分析
简介
SARS是严重急性呼吸综合症(severeacuterespiratorysyndrome)的缩写，是2002年开始在中国广东省东莞市发生的一种类似肺炎的传染病。2003年3月，SARS在全球范围内爆发，感染人数超过8100人，导致774人死亡。SARS的传播具有极大的危害性，因此，建立一种有效的SARS流行病模型并进行稳定性分析是非常必要的。
一类SARS流行病模型
考虑一个简单的SARS流行病模型，人口总数为N(t)，健康的人数为S(t)，感染者人数为I(t)，治愈或死亡人数为R(t)，则S(t)+I(t)+R(t)=N(t)。该模型的基本假设是：人口分布具有均匀性；人口密度是恒定的；时间是连续的。模型的数学描述如下：
dS/dt=-βSI/N
dI/dt=βSI/N-γI
dR/dt=γI
其中，β和γ是常数，分别表示感染率和治愈率。该模型是一个三个未知函数的非线性微分方程组，需要通过数值方法求解。但是，在数值解法之前，这个模型的稳定性分析是至关重要的。
稳定性分析
其稳定性分析的主要工作是探究系统稳定性条件和稳定状态点的极限情况。
1.系统稳定性条件
设SIR系统的变量分别为S(t)、I(t)、R(t)，根据系统动力学理论，SIR系统的稳定性受到以下条件的影响：
（1）变量之间的相互作用关系；
（2）系统的时间不变特性；
（3）系统的非负性条件。
基于以上条件得出，SIR系统的稳定状态必须是非负的，并且存在一个平衡点，即：
dS/dt=0，dI/dt=0，dR/dt=0
解出平衡点的方程：
S*=N-1,I*=βN/γ-1,R*=0
2.稳定状态点的极限情况
根据Lyapunov稳定性理论，稳定状态点的极限情况给出了系统解的长期变化，可以用来预测疾病的传播趋势。对于SIR系统，稳定状态点的极限情况有两种情况：
（1）当I(0)<I*时，系统完全复原，即I(t)→0，S(t)→N。(健康者人数恢复到原始状态)
（2）当I(0)>I*时，系统失稳，即I(t)→∞，S(t)→0。(整个系统崩溃)
结论
在SIR流行病模型中，稳定性分析是非常必要的。通过对系统稳定性条件和稳定状态点的极限情况的分析，可以在一定程度上预测疾病传播的趋势，进一步制定疫情防控措施。针对SARS病毒的传播，建立可靠的流行病模型，并进行稳定性分析是防控SARS的重要手段之一，对于控制SARS病毒的传播和防范其他疾病的传播都具有参考价值。