第1讲-直线与圆.docx

第1讲直线与圆
高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.

真题感悟
1.(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点.若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，则点C的轨迹为()
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
解析以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设点A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点C为(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2－a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C的轨迹为圆.故选A.
答案A
2.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()
A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)
C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(4\r(5),5)
解析因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上.所以可设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a＞0).则(2－a)2＋(1－a)2＝a2，解之得a＝1或a＝5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|2×1－1－3|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(2\r(5),5)或d＝eq\f(|2×5－5－3|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).
答案B
3.(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，点P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为()
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0
解析由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1).
如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为eq\f(1,2)|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小.

因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小.
又|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|2－4)，
所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为eq\f(|2＋1＋2|,\r(5))＝eq\r(5)，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.
由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋2＝0，,x－2y＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以P(－1，0).
易知P、A、M、B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为
x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2)，即x2＋y2－y－1＝0②，
由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D.
答案D
4.(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由.
解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值.
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2,化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，