一类含参数激励和强迫激励的时滞反馈系统的分岔分析.pdf

第25卷第2期徐州师范大学学报(自然科学版)Vol.25,No.2
2007年6月J.ofXuzhouNormalUniv.(NaturalScienceEdition)Jun.,2007

一类含参数激励和强迫激励的
时滞反馈系统的分岔分析

张冬梅1,李凤伟2,徐涵1
(1.临沂师范学院数学系,山东临沂276005;2.枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄277160)

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摘要:对一类受参数激励和强迫激励联合作用下的时滞反馈系统,着重研究在亚谐共振-主参数共振下的分岔响
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应控制.首先用多尺度法推导出该时滞动力系统的分岔响应方程,进而利用奇异性理论分析系统发生极限点分岔的条件.
关键词:多尺度法;分岔;时滞动力系统
中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:100726573(2007)0220028203

从自然界到人类社会,从自然科学、工程技术到社会科学,时滞现象无处不在.近年来,时滞动力系
统已成为许多领域的重要研究对象.在电路、光学、神经网络[1]、生物环境与医学、建筑结构、机械等领
域,人们对时滞系统作了大量的研究,取得了许多重要成果,并巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为.
文献[2]对时滞动力系统的处理方法和各个领域的发展作了详细的综述.
我国力学界学者对工程技术和应用领域的时滞动力系统动力学研究已经开展了近10年.
文献[3,4]发现时滞作为参数对非线性振动系统的动力学行为有本质的影响.文献[5,6]研究了vander
Pol2Duffing系统的时滞反馈控制,并通过数值模拟得出了时滞参数的影响作用.徐鉴等[7]利用中心流
形和摄动理论,对非线性时滞系统进行约化,从理论上得出空间慢变量、时滞经外部扰动联合作用下的
渐近解析解.发现时滞量可以作为控制开关,导致系统出现复杂运动,也可以使复杂运动变成简单运动.
本文研究含有两个时滞量和线性反馈的受参数激励和强迫激励联合作用下的非线性动力系统:
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x¨-ε(μ-αx)Ûx+(ω+2εcos2t)(x-εβx)=εFcosΩt+ε(gpx(t-τ1)+gdÛx(t-τ2)),(1)

式中0<εn1,α,β,μ是正的或负的参数,F表示激励幅值,ω表示角频率,Ω表示外激角频率,τ1,τ2为

时滞量,gp,gd为线性增益系数.ω和Ω可以取相同的值,也可以取不同的值,分别对应不同的共振情
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况.本文着重讨论在亚谐共振-主参数共振情况下两个时滞参数对系统分岔的影响.
2

1
1亚谐共振-主参数共振情况下的分岔响应方程
2
首先用多尺度法[8]求方程(1)的下列形式的一致渐近解

x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+⋯,(2)

其中T0为快变尺度,T1为慢变尺度,T0=t,T1=εt.则有微分算子:
d55
=+ε+⋯=D0+εD1+⋯,(3)
dt5T05T1
2
d2
=D0+2εD0D1+⋯.(4)
dt2
1
在亚谐共振-主参数共振情况下,ω=1+εσ,Ω=2,这里σ为调谐参数.将(2)～(4)式代入(1)式,
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令ε同次幂的系数相等,可以得到微分方程组

收稿日期:2007201218
基金项目:上海市教育委员E-研究院建设计划基金项目资助(E03004)
作者简介:张冬梅(1980-),女,山东苍山人,硕士,主要从事现代力学中的数学方法的研究.

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第2期张冬梅,等:一类含参数激励和强迫激励的时滞反馈系统的分岔分析92

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D0x0+x0=0,(5)
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D0x1+x1=-2D0D1x0+(μ-αx0)D0x0+βx0-2σx0-2x0cos2T0

+Fcos2T0+gpx0(T0-τ1)+gdD0x0(T0-τ2).(6)
设方程(5)的复数形式的解为
iT-iT
x0=A(T1)e0+A(T1)e0,(7)
这里A为A的共轭复数.将(7)式代入(6)式可以得到
22iT
D0x1+x1=(-2iD1A+i(μ-αAA)A+3βAA-2σA-A)e0

iT0
+(gp(cosτ1-isinτ1)A+gd(sinτ2+icosτ2)A)e

33i3TFi2T
+(-iαA+βA-A)e0+e0+cc,(8)
2
其中cc表示右端函数的共轭部分.消去长期项,令
2
-2iD1A+i(μ-αAA)A+3βAA-2σA-A

+gp(cosτ1-isinτ1)A+gd(sinτ2+icosτ2)A=0,(9)
i<
不妨设A=ae,其中a和<是关于T1的实函数,将其代入(9)式,并分离实部和虚部得

da1131
=(μ-gp