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用蒙特卡罗方法和区域分解算法求解一类对流扩散方程

刘播刘芳芳刘春光
吉林大学数学研究所，130012，长春
liubom钊lu.edu.en,[e-mail]

摘要对对流扩散方程的求解域作矩形剖分，对时间层分层求解，每
一层用区域分解方法分割成若干个子域，子域内边界点用蒙特卡罗方法求解，
并给出了误差估计.这样每个子域的求解是独立的，可以进行并行计算.对一
维方程做了数值实验.
关键词蒙特卡罗方法区域分解并行计算对流扩散方程

'1弓1言

蒙特卡罗(MonteCarlo)方法，简称:SIC法，又称随机抽样方法，是一
种与一般数值计算方法有着本质区别的计算方法，它利用随机数进行统计试
验，以求得的统计特征值(如均值等)作为待解间题的数值解。
流体力学问题的微分方程，用隐式格式求解是绝对稳定的，但是直接用传
统的方法(如Gauss消去法，超松弛迭代法等)求相应差分方程组的解，运算
量很大，计算时间很长，对于高维情况，问题更显得突出.本文介绍了一种可
以用多处理机对差分方程进行并行计算的方法.先用区域分解算法建立并行
的差分算法，再利用NIC法计算各子域内边界点的函数值，这样各个子域的求
解是独立的，可以并行计算.

'2区域分解算法
区域分解算法包括不重叠区域分解法和重叠区域分解法，我们这里采用
不重叠区域分解法.它的基本思想是:将计算区域G分解为若干个子域，G=
U7=7=11G=，子域G;的形状尽可能规则.这样，可将原间题的求解转化为在各个
子域上求解.只要知道各子域边界上的函数值，就可用迭代法求解区域内各网
格点函数值.子域边界上的函数值可用mC法求解.
对于一维情形，我们只需用MC法求解p个单点值，就可以将求解区域
分成P十1个子区域，在每个子域上分别用迭代法求解，其差分方程组系数矩
阵的维数不超过NP-t-l，其中N为空间域上的网点数，这样并行度大为提高·
考虑对流扩散方程
了处
.户
.U毛川
.优
.
夕·会+h(x't)dx+"(x,‘，，0<x<‘，0<‘<T,
1t冬0)
二沪(二)，(1)
t)
U几二
、/'l(t),u(l,t)二u2(t)

取空间步长h=IIN，和时间步长二=T/L，其中N,L都是自然数，用两族平
行直线x=x.f二jh(j二0,1.⋯，N)和t二tk=k,r(k=0,1,2,⋯、L)将矩形域
G={0<x<1,0<￡<T}分割成矩形网格，网格点分为两类，一类是内部网
格点集，记为Gi,，它的四个相邻网格点均位于区域内部和边界上;另一类是边
界网格点，我们把二=0，二二l上的网格点集记为r大，t=0上的网格点集记为
r;,

j+1
图(1)
与方程(1)相应的隐式差分方程组为

“十畏uk十‘+2(uk.7十，一，tliT_1)、十i
一(u.ki++ll-2uhjk}+1+uak+_1l)+b3k9一十马
.l二1.2，二，N一1,k二0.1,⋯。L一1.
心
姑=};(xi),
=P1(tk),u矢=P2(tk)-
假设对每一层已求出ni,n2,...,np这P个点的值，即可将求解域分成!xp,XnJ.
[Xni,Xni+1I,(y.二1,2,⋯,P一1),[xnp,XNJ这;+1个子域，可在这些子域上求解
阶数小得多的差分方程.
下面我们用蒙特卡罗方法求解(f2)在第k+1层上内边界点。‘处的值.
'3蒙特卡罗方法

介十粤_了
,k+备Cj一丁沪(x,t)一护一
sj=raj一，qj二d(二，t)=—。r
a(x,t)·(一‘)一ab(x,,tt)'F(一‘)-a(x,t)‘
代入上节的差分方程中，有
uki+l一下s)}二(ki+1l十。ki-+1l)十1n..(vjk、(一、)v'j-l、97v'i+l+TF}+2).(3)
上了‘，’J-一孟丫Zaj

该差分方程组的系数矩阵是严格对角占优的，一解
+1，记
令(3)式中讨+(一、)咋，+。哈1+T才
了
了、
.二，
!拜‘，
1‘‘.
1、声
f‘名、
gX，夕x二x0,
蔽了一、
、护
‘、
‘吞!
tPq‘‘
‘、
户x=XN

则相应的差分方程变为
Ujk+l}1-9}-81.S_)(21ujk++ll十71ujk+-1l)+丁LS'可}1fjk+l
弓
二试xj),(4)
讨
=9(xi，tk),j=0或j=N.

我们逐层来求解这个差分方程组，即求解每一层的时候下一层的值已知.构造
随机游动模型如下(我们用记号P(j,k+1)表示网格点(j,k+1)):
设想有一质点自尸(j,k十1)点出发，以等概率1/2向与P(j,k+1)邻接的
二个节点P(j+1,k+1),P(j一1,k+1)处随机游动一步，然后再按同样的方式
自新的位置向与之邻接的二个节点处随机游动一步，如此继续