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函数逼近的插值法
——Hermite插值多项式

主讲孟纯军
Hermite插值多项式

„Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的
函数值相等，也就是保证了函数的连续性。

„但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是
还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶
数越高则光滑度越高。

„现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交
通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及
已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的
外形制成飞机、汽车等外形。
Hermite插值问题的提法

给定节点xx01,,...,xn,给定函数fx()
n
在节点处{}xyyyin00的函数值,1,...,,

以及相应的一阶导数值yy01',',...,yn',

求多项式Hx21n+(),使得

⎪⎧Hxyfx21ni+()==i(),i
⎨''(in=0,1,2,...)
⎩⎪Hxyfx21ni+()==i'()i

Hx21n+()称为Hermite插值多项式。
Hermite插值多项式的求法—
Lagrange方法

由插值条件

⎪⎧Hxyfx21ni+()==i(),i
⎨''(0,1,2,...)in=
⎩⎪Hxyfx21ni+()==i'()i

nn
设'
H21njjjj+()x=+∑∑αβ()xy()xy
jj==00

其中，αjj()xxn，β()为2+2个基函数。
由Lagrange插值基函数，设想
⎧1j=i
（）1()αjix=⎨
⎩0j≠i

（）2α'(xi)==00,1,2,...n
ji
（）3βji(xi)=0=0,1,2,...n

'⎧1ji=
（）4()βxi=⎨
j⎩0ji≠
αj()xn为次数不超过2+1的多项式，考虑它的零点:

0()()...()====ααjjx01xxαjj−1

===ααjj(xx+1)...jn()
0()()...()====αα''xxxα'
jj01jj−1
===αα''(xx)...()
jjjn+1
而αα()1,()0xx='=
jjjj

则xx01,,...xjj−+1,x1,...,xn是αj(x)的二重零点。

所以，令

22222
(xx−−01)(xx)...(xx−jj−+1)(xx−1)...(xx−n)
αj()xCx=()22222
(xj−−xxx01)(j)...(xxjj−−+1)(xxjj−1)...(xxjn−)
2
=Cxl()j()x
由于αj()xn是2+1次多项式，故Cx()为一次多是项式。

2
令即Cx()=+AxBαjj()x=(AxBl+)()x

'
⎧Ax+=B1⎪⎧Alx=−2(jj)
j⇒⎨
⎨'Bxlx=+12'()
⎩AAxBlx+2(jjj+=)()0⎩⎪jjj
故得：
''2
()xα(j=2l−(xj)xj+1jx+2jlj(xj))lx()
'2
(1=2x+(jx−)lj(xjj))lx()
βj()xn也为次数不超过2+1的多项式，它的零点:

0====ββjj(xx01)()...βjj(x−1)

===ββjj()...()xx+1jn
0====ββ''(x)(xx)...β'()
jj01jj−1
===ββ''()...()xx
jjjn+1
而ββ()0,()1xx='=
jjjj

则xx01,,...xjj−+1,x1,...,xnj是β(x)的二重零点，

xj是单重零点。
22222
(xx−−01)(xx)...(xx−jj−+1)(xx−1)...(xx−n)
βjj()xCxx=−()22222
(xj−−xxx01)(j)...(xxjj−−+1)(xxjj−1)...(xxjn−)
2
=−Cx()()xjjlx
由于βj()xn是2+1次多项式，故C为常数。

β'(xClxCxxlxlxC)=+−2()2()()'()|==1
jjjjjjxj

2
所以βjj()x=−(xxlx)j()
nn
'
H21njjjj+()xxyxy=+∑∑αβ()()
jj==00
nn
（'22'
=+−∑∑12(xxlxlxjj)(j))()jyj+(xxlx−j)()jyj
jj==00

n
（(''2
=+−−∑yjjjj()2())()xxyylxlxjjj
j=0
nxx−
其中i为插值基函数。
lxj()=∏Lagrange
iij=≠0,xxji−
定理：给定互异的节点xx01,,...,xn，给定函数值

fx(ii)===y,f'(xii)y',i0,1,...,n,

则存在唯一的Hermite插值多项式Hx21n+()

⎪⎧Hxyfx21ni+()==i(),i
满足(0,1,2,...)in
⎨