D3D,OPENGL视点变换矩阵,投影矩阵(CLIP SPACE)的推导过程.doc

D3D,OPENGL视点变换矩阵，投影矩阵（clipspace）的推导过程
此处推导D3D的变换矩阵（采用行向量，行主序存储，右乘矩阵），然后通过调整得出OPENGL中的变换矩阵
视点变换矩阵的推导。
根据给定的眼睛位置（position），朝向（orientation）来计算最终的视点变换矩阵。投影矩阵的计算见Frustum类
计算过程大致如下：
设Q代表从世界空间坐标系到眼睛空间坐标系的变换矩阵，V代表一个点
故VQ=VMT.
其中T:从世界空间坐标系到眼睛空间坐标系的平移变换矩阵，
M：从世界空间坐标系到眼睛空间坐标系的旋转变换矩阵。
则Q代表视点变换矩阵
Q=MT=TM
由于M是正交矩阵，
故V=Q=TM
其中M=[RxRyRz0],T=[1000]
[UxUyUz0] [0100]
[DxDyDz0] [0010]
[0001] [TxTyTz1]
故V=Q=[1000] *[RxUxDx0]
[0100] [RyUyDy0]
[0010] [RzUzDz0]
[-Tx–Ty–Tz1] [0001]
=[RxUxDx0]
[RyUyDy0]
[RzUzDz0]
[WxWyWz1]

其中W=-Pos*M
对于OPENGL，则有：
V=Q=MT
其中M=[RxUx-Dx0]
[RyUy-Dy0]
[RzUz-Dz0]
[0001]

T=[100Tx]
[010Ty]
[001Tz]
[0001]
故V=Q=[RxRyRzWx]
[UxUyUzWy]
[-Dx–Dy–DzWz]
[0001]
其中W=-M*Pos
透视投影（perspectiveprojection）矩阵的推导
假设（X,Y,Z,1）为一个点，投影后的点为(Xp,Yp,Zp,1)则根据相似三角形原理，有：

Xp/X=Yp/Y=N/Z
所以：
Xp=N*X/Z
Yp=N*Y/Z
Zp=N
故投影变换可以表示为齐次坐标形式：
(Xp,Yp,Zp,1)=（X，Y，Z，Z/N）
对于X和Y:
在进行上一步变换后，还要进一步做裁剪变换，即将投影后的坐标映射为[-1,1].
即：（X*N/Z,Y*N/Z）:([l,r],[b,t])([-1,1],[-1,1])
即：(X*N/Z-l)/(r-l)=（s+1）/2
由此可以得到：

对于Z,变换稍微复杂一些。
Z的初始范围是现要将其变换至[0,1]。
变换虽然可以完成上述变换但并不符合投影变换的规律。
因为投影变换是一个非线性的变换，而上述方程是一个线性方程，因此必须采用其他的变换方程。
我们可以发现，在进行透视投影之后，原来分布均匀的一条直线上的点，变成了分布不均匀的直线上一串点。下面进行详细分析：
假设某线段的两个端点分别为。透视投影后分别对应
则原线段上的任意点可表示为
其中
投影后的对应点可表示为：

其中，
上面的式子与裁减变换中的深度值归一化有关，下面的式子与光栅化校正有关。

方程
（将s=(d-dmin)/(dmax-dmin)代入即可得到）
满足透视投影的特点，它是一个非线性的方程，且取值范围是[0,1]。
其中的s满足：
且s∈[0,1]
因此，可以作为深度值的参考值，因为它蕴含了透视投影的非线性规律。
故Zclip=F/(F-N)*(1-N/Z),结合刚才推导出的X,Y的变换公式，可以得到最终的透视投影矩（offcenterperspective）阵为：P=

说明t-b中的b是指bottom。
如果投影平面的中心与眼坐标系坐标中心重合，并且投影平面上下，左右分别对称，
则r+l=0,b+t=0,
故以上矩阵可以简化为：P（D3D）=

对于OPENGL的透视投影矩阵，从P(D3D)出发可以推导出来：
左手系变换为右手系
Z的范围由[0,1]变换为[-1,1]
将行主序改为列主序（转置即可）
即：
P(OPENGL)=（AP(D3D)B）
其中，A=
[1000]
[0100]
[00-10]
[0001]
将Z坐标取负，其实就是左手变换为右手。
B=
[1000]
[0100]
[0020]
[00-11]
其实就是Z*2-1，将Z值从[0,1]变换为[-1,1]
P(OPENGL)=

最后，视景体还有另外一种表示方法：fov,aspectratio,near,far
他们与l,r,t,b之间的关系为：

其中，fov是指Y方向上的视野角度

3.正交投影（orthographicprojection）矩阵的推导
正交投影的视景体可以用6个参数来表示：
l,r,t,b,n,f
因此，投影变换实际是：
(x,y,z):([l,r],[b,t],[n,f])([-1,1],[-1,1],[0,1])
变换矩阵可以表示为：P(D3D