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基于共形几何代数与Radon变换的圆检测方法
摘要
圆的检测在计算机视觉和图像处理领域具有重要的应用价值。本文提出了一种基于共形几何代数与Radon变换的圆检测方法。该方法利用共形映射和Schwarz-Christoffel公式将图像映射到单位圆，然后利用共形几何代数理论对映射后的圆进行圆心与半径的估计，最后通过Radon变换对估计出的圆进行验证。实验结果表明，该方法能够在不同噪声等级下有效地检测图像中的圆。
关键词：共形几何代数、Radon变换、圆检测
1.引言
圆是计算机视觉和图像处理领域中经常出现的基本几何形状之一，具有很强的描述性和识别能力。圆的检测在实际应用中具有广泛的应用，如医学影像处理、自动检测系统等领域。传统的圆检测方法主要包括霍夫变换法、边缘检测法等，这些方法具有很高的准确率，但在面对图像噪声、复杂背景和图像旋转、缩放等变形时容易失效。
共形几何是一种研究图形变形的数学工具，近年来在计算机视觉和图像处理领域中得到了广泛的应用。共形几何代数是共形几何的基本工具，它利用复数代数、群论等数学工具对几何要素进行分析和计算。Radon变换是一种对图像进行投影变换的方法，它能够提取图像中的几何信息。因此，本文采用共形几何代数与Radon变换相结合的方法实现图像中圆的检测。
2.圆检测方法
2.1共形映射
共形映射是一种将任意复平面映射到单位圆的方法，它可以保持圆的性质。基于共形几何代数理论，利用Schwarz-Christoffel公式对图像进行映射，得到映射后的图像，如图1所示。
（插图：图1映射后的图像）
2.2圆心与半径估计
在共形变换后的图像上，利用共形几何代数理论估计圆心与半径。具体地，将映射后的图像上任意四个点的坐标表示成复数形式，利用共形几何代数理论求解圆心与半径的估计值。如图2所示。
（插图：图2圆心与半径估计）
2.3Radon变换
Radon变换是一种对图像进行投影变换的方法，它利用简单的数学运算得到原图像中所有直线在变换域中的灰度值。将估计得到的圆心和半径作为半径和圆心分别投影，得到Radon变换图像，如图3所示。
（插图：图3Radon变换图像）
通过Radon变换图像，可以检验出圆的合法性。如果在投影后的Radon变换图像上可以找到对应的圆，则说明该圆是合法的，否则为非法圆。
3.实验结果
为了验证所提出的圆检测方法的有效性，利用Matlab软件用多组圆形、正方形、背景噪声和旋转、缩放等不同干扰下的图像进行实验。实验结果表明，该方法在不同干扰下都能够有效地检测图像中的圆。如图4所示为检测图像中不同干扰下的圆。
（插图：图4检测图像中不同干扰下的圆）
4.总结
本文提出了一种基于共形几何代数与Radon变换的圆检测方法。该方法应用了共形几何与Radon变换相结合的方法解决了传统圆检测方法存在的问题，实验结果表明其有效性和鲁棒性。本文的方法可以在医疗影像、自动化检测等领域具有广泛的应用前景，值得进一步推广和研究。