路程最短问题的模型和题型浅论.docx

路程最短问题的模型和题型浅论
---将军饮马模型

一．六大模型

1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小

4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

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二、常见题目Part1、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，丐AE=2，求EM+EC的最小值解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，AA∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，EE则EH=AH–AE=3–2=1，MHBH=BC2-CH2=62-32=33M在直角△BHE中，BE=BH2+HE2BDCBDC=(33)2+12=272．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

解：作点B关于AD的对称点B'，

过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E的长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，

根据勾股定理得到，B'E=4

C

B'

M FD

ANEB

3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值

解：作AB关于AC的对称线段AB'，

过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N=MB'+MN=MB+MNB'N的长就是MB+MN的最小值

C

M

则∠B'AN=2∠BAC=60°，AB'=AB=2，

∠ANB'=90°，∠B'=30°。

∴AN=1

在直角△AB'N中，根据勾股定理


A30°N2BB'
B'N=3 C

MA30°N2B
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Part2、正方形

1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小

解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，

交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值

在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，

则ＢＭ＝１０

故DN＋ＭＮ的最小值是１０

A D

N M

B C

2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使

PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A．23B．26C．3D．6AD解：即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小E点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE，PBE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=23BC

3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的

最小值为____________㎝（结果不取近似值）.解：在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小AD∵点B关于AC的对称点是D点，∴连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQP故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2BQC根据勾股定理，得，DQ=5

4．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

解：连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值

在直角△ABE中，求得AE的长为55


A D

B E C

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Part3、矩形

1．如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD

的最小值；

解：作点C关于BD的对称点C'，过点C'，

作C'B⊥BC，交BD于点P，则C'E就是PE+PC的最小值

20直角△BCD中，CH=5直角△BCH中，BH=85△BCC'的面积为：BH×CH=160∴C'E×BC=2×