高三一轮复习数学资料53 平面向量的数量积.docx

§5.3平面向量的数量积

基础自测
1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为（）
A. B.
C. D.
答案C
2.（ 2009·宜昌调研）在边长为1的正三角形ABC中，设=a，=c，=b，则a·b+b·c+c·a等于（）
A.1.5 B.-1.5
C.0.5 D.-0.5
答案C
3.向量a=(cos15°,sin15°),b=(-sin15°,-cos15°),则|a-b|的值是()
A.1 B.
C. D.
答案D
4.已知a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),则a(b·c)为 （）
A.34 B.(34,-68) 
C.-68 D.(-34,68)
答案B
5.(2008·浙江理,9)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则|c|的最大值是（）
A.1 B.2 C. D.
答案C

例1已知向量a=
b=且x∈.
（1）求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.
解（1）a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,
a+b=
|a+b|=
=
∵x,∴cosx＞0,
∴|a+b|=2cosx.
(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1
=2
∵,∴≤cosx≤1,
∴当cosx=时，f(x)取得最小值为-；
当cosx=1时，f(x)取得最大值为-1.
例2已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0＜＜＜).
(1)求证：a+b与a-b互相垂直；
（2）若ka+b与a-kb的模相等，求-.(其中k为非零实数)
（1）证明(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2
=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
（2）
解ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),
==
∵=,∴
又k0,∴cos()=0.而0＜＜＜,∴-=.
例3（12分）设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，
求实数t的范围.
解由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，
得＜0,3分
即(2te1+7e2)·(e1+te2)＜0,
化简即得：2t2+15t+7＜0,
解得-7＜t＜-,6分
当夹角为时，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)＜0,
但此时夹角不是钝角，2te1+7e2与e1+te2反向.8分
设2te1+7e2=(e1+te2),＜0,
可求得，∴11分
∴所求实数t的范围是.12分

1.向量a=(cos23°,cos67°),向量b=(cos68°,cos22°).
(1)求a·b；
（2）若向量b与向量m共线，u=a+m,求u的模的最小值.
解（1）a·b=cos23°·cos68°+cos67°·cos22°
=cos23°·sin22°+sin23°·cos22°=sin45°=.
（2）由向量b与向量m共线，得m=b(∈R），
u=a+m=a+b
=(cos23°+cos68°,cos67°+cos22°)
=（cos23°+sin22°，sin23°+cos22°），
|u|2=(cos23°+sin22°)2+(sin23°+cos22°)2
=2++1=+，
∴当=-时，|u|有最小值为.
2.已知平面向量a=,b=(-,-1).
(1)证明：a⊥b;
(2）若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数.
(1)证明a·b=·
=×(-)+×(-1)=0,
∴a⊥b.
(2)解∵x⊥y,∴x·y=0,
即［a+(t2-2)b］·（-ka+t2b）=0.
展开得-ka2+［t2-k(t2-2)］a·b+t2(t2-2)b2=0,
∵a·b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,
∴-k+4t2(t2-2)=0,∴k=f(t)=4t2(t2-2).
3.设a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，且a与b具有关系|ka+b|=|a-kb|(k＞0).
（1）用k表示a·b；
（2）求a·b的最小值，并求此时a与b的夹角.
解（1）∵|ka+b|=|a-kb|，
∴(ka+b)2=3(a-kb)2，且|a|=|b|=1，
即k2+1+2ka·b=3(1+k2-2ka·b)，
∴4ka·b=k2+1.∴a·b=(k＞0）.
（2）由（1）知：∵k＞0