高三数学专题——平面向量与空间向量.docx

平面向量与空间向量
平面向量及其运算
一、知识导学
1.模（长度）：向量SKIPIF1<0的大小，记作|SKIPIF1<0|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量SKIPIF1<0长度相等，方向相反的向量叫做SKIPIF1<0的相反向量。记作-SKIPIF1<0。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。在平面内任取一点，作SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的和。记作SKIPIF1<0+SKIPIF1<0。
6.向量的减法：求两个向量差的运算。
已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。在平面内任取一点O，作SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的差。记作SKIPIF1<0-SKIPIF1<0。
7.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量SKIPIF1<0的积是一个向量，记作λSKIPIF1<0，并规定：①λSKIPIF1<0的长度|λSKIPIF1<0|=|λ|·|SKIPIF1<0|；②当λ＞0时，λSKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相同；
当λ＜0时，λSKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相反；
当λ＝0时，λSKIPIF1<0=SKIPIF1<0
（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则
①λ(μSKIPIF1<0)=(λμ)SKIPIF1<0②(λ+μ)SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0+μSKIPIF1<0③λ(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)=λSKIPIF1<0+λSKIPIF1<0
8.向量共线的充分条件：向量SKIPIF1<0与非零向量SKIPIF1<0共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0。
另外，设SKIPIF1<0=（x1,y1）,SKIPIF1<0=(x2,y2)，则SKIPIF1<0//SKIPIF1<0SKIPIF1<0x1y2－x2y1=0
9.平面向量基本定理：如果SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数λ1、λ2使SKIPIF1<0＝λ1SKIPIF1<0＋λ2SKIPIF1<0，其中不共线向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点
设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0，λ叫做分有向线段所成的比。若点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)，则有
特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，有SKIPIF1<0
11.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它们的夹角为θ，则数量|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|cosθ叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量积(或内积)，记作SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|cosθ
规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积SKIPIF1<0·SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的长度|SKIPIF1<0|与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的方向上的投影|SKIPIF1<0|cosθ的乘积。
(3)性质：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是非零向量，SKIPIF1<0是与SKIPIF1<0方向相同的单位向量，θ是SKIPIF1<0与SKIPIF1