高三数学专题练习平面向量.docx

2019届高三数学专题练习平面向量
1．代数法
例1：已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（）
A．3 B． C． D．
2．几何法
例2：设，是两个非零向量，且，则_______．
3．建立直角坐标系
例3：在边长为1的正三角形中，设，，则__________．
一、单选题
1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，，则（）
A．1 B． C． D．2
3．如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，
则（）
A． B．1 C． D．
4．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则（）
A． B． C． D．
5．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（）
A． B． C． D．
6．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（）
A． B． C． D．
7．已知非零向量，，满足且，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
8．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为（）
A． B．0 C．2 D．
9．设向量，，，满足，，，则的最大值等于（）
A．1 B． C． D．2
10．已知与为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（）
A． B．
C． D．
11．平行四边形中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围
是（）
A． B． C． D．
12．如图，在等腰直角三角形中，，，是线段上的点，且，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量，，，若，则________．
14．若向量，满足，，且，则与的夹角为__________．
15．已知正方形的边长为2，是上的一个动点，则求的最大值为________．
16．在中，，，，为线段上一点，则的取值范围为____．
答案
1．代数法
例1：已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】考虑在上的投影为，所以只需求出，即可．
由可得：，
所以．进而．故选C．
2．几何法
例2：设，是两个非零向量，且，则_______．
【答案】
【解析】可知，，为平行四边形的一组邻边和一条对角线，
由可知满足条件的只能是底角为，边长的菱形，
从而可求出另一条对角线的长度为．
3．建立直角坐标系
例3：在边长为1的正三角形中，设，，则__________．
【答案】
【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，
观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，
如图建系：，，，
下面求坐标：令，∴，，
由可得：，∴，
∴，，∴．
一、单选题
1．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故选D．
2．已知向量，满足，，，则（）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意可得：，则．故选A．
3．如图，平行四边形中，，，，点在边上，且，
则（）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
则
．故选B．
4．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若，，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在中，是边的中线，所以，
又因为是边的中点，所以，
所以，故选B．
5．在梯形中，，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，，
所以是直角梯形，且，，
以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
因为，，动点和分别在线段和上，
则，，，，
所以，
令且，
由基本不等式可知，当时可取得最大值，
则．故选D．
6．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，中，，，，
则根据余弦定理可得，即．∴为直角三角形以为原点，为轴，为轴建立坐标系，则，，
则线段的方程为，．
设，则．
∵，∴．故选C．
7．已知非零向量，，满足且，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】非零向量，，满足且，则，
∴，∴，
∴，
∴，，∴与的夹角为，故选A．
8．在中斜边，以为中点的线段，则的最大值为（）
A． B．0 C．2 D．
【答案】B
【解析】∵在中斜边，∴，
∵为线段中点，且，
∴原式，
当时，有最大值，．故选B．
9．设向量，，，满足，，，则的最大值等于（）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】设，，，因为，，
所以，，所以，，，四点共圆，
因为，，所以，
由正弦定理知，即过，，，四点的圆的直径为2，
所以的最大值等于直径2，故选D．
10．已知与为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为（）
A．