考研数学基础班讲义1.docx

----高等数学----
第一章函数、极限、连续
函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。
第一节数列极限与函数极限
【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A.注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。（2）。（3）。【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。（2）判定数列的单调性主要有三种方法：Ⅰ计算.若，则单调递增；若，则单调递减。Ⅱ当时，计算.若，则单调递增；若，则单调递减。Ⅲ令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.【答疑编号911010101】1.X0>0∵X0>0,假设Xn>0,n≥2∵Xn>0,∴假设成立∵Xn>0,∴,n≥1，n≥1时∵∴Xn+1≤Xn且令，因为，由极限的保号性知令n→∞，↓∵∴a2=2【例2·证明题】设f（x）是区间上单调减少且非负的连续函数，，证明数列的极限存在。【答疑编号911010102】例2∵f（x）↓且f（x）≥0＝∵f（x）↓又∵f（x）≥0≥0≤0∴an≥0，且an+1≤an↓存在【考点二】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且，则.【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。【例3·计算题】计算极限：【答疑编号911010103】例3∵∴SinX≥0,∴∴根据积分的不等式定理若在[a，b]f（x）≥g（x），则。∴∴↓↓↓令n→∞000（取右端点）（取左端点）【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有，【例4·计算题】求下列极限：【答疑编号911010104】【例5·选择题】等于（）【答疑编号911010105】【考点四】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重要。【例6·解答题】设在x=0某邻域内可导，且.求极限.【答疑编号911010201】6.∵f（0）=1，f′（0）=2令1∞再利用重要极限【例7·选择题】设,则极限等于（）【答疑编号911010202】而【例8·证明题】设，证明：（1）对于任何自然数n，方程在区间中仅有一根。（2）设【答疑编号911010203】要证:有根令（1）令，∴至少存在使F（xn）=0∴F（x）在严格单减则F（xn）=0且xn唯一8.（2）∵在内∴在上严格单减∵∴∴二、函数的极限【考点五】也就是说，函数极限存在且等于A的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。①②【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点五】判断双侧极限是否存在。【例9·解答题】确定常数a的值，使极限存在。【答疑编号911010204】不存在X<0X→0,x>0令a=3-a【考点六】使用洛必达（）法则求型未定式的极限