2013年考研数学基础班讲义.pdf

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第一章极限与连续

§1函数

求一元函数的定义域

3x-1
（）2
函数yx12e－e2的定义域为________.

求初等函数的表达式

1x2
已知f()xf,(求x).
xx41

求分段函数的表达式

2,xx0xx2,0
设则gx(),f(x),gf[(x)]___.
xx2,0xx,0

讨论函数的单调性

设f()(,)xx在上有定义，且对任意,y(,)有|f()()||xfyxy|,

证明F()xfxx()在(,)上单调增加.

一元函数周期性的讨论
山大考研淄博

设对任何xc(,)，存在常数0,(使fxc)f().x证明f()x是周期函数.

§2数列的极限

有关数列极限存在性的判断

"(对任意给定的0,1),,总存在正整数NnN当时，恒有|xan-|2"是

数列xan收敛于的_____.
A充分条件但非必要条件B必要条件但非充分条件

C充分必要条件D即非充分条件又非必要条件

§3函数的极限

讨论函数极限的存在性

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1设对任意x，总有()xf()xgx(),且lim[()gx()]0,x则lim()___.fx
xx
A存在且等于零B存在但不一定为零
C一定不存在D不一定存在
xx,||1
2设fx(),试讨论lim()fx及lim().fx
xx2,||1xx11－
1
||xa1x
3求函数fx(),gx()(1)ax当0时的左右极限，
x1
1ax
并说明x0时的极限是否存在.

§4无穷小与无穷大

有关无穷小与无穷大的定义

设数列xynn与满足limxynn0,则下列断言正确的是___.
n

A若xynn发散，则必发散B若xynn无界，则必有界
1
C若xynn有界，则必为无穷小D若为无穷小，则yn也必为无穷小
xn
§5极限运算法则

利用极限存在的充要条件求极限

1
e1,xx0

设fx()1,x0,求lim().fx
x0
1山大考研淄博
1sin,xx0
x

利用分子或分母有理化求极限

1极限lim(nnnn3)______.2limxx(2100x).
nx－

先求和，再求极限

x1
设函数fx()a(a0,a1),则limln[f(1)f(2)…fn()]____.
nn2
利用极限与无穷小的关系求极限
sin6xxfx()6fx()
若则lim0,lim____.为
xx00xx32
先求积，再求极限

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242n
.(求lim(1xx)(1)(1x)ٛ(1x),(|x|1
n

§6极限存在准则，两个重要极限

利用夹逼准则求极限

nnn
1l利用极限存在的准则证明：im(…)1.
nnn222nn2

12n
2lim(求…).
nnn2212nnnnn2

利用单调有界数列必有极限求极限

1a
设其中求xnn10(),0,0,limxaxxn.
n
2xn

利用第一个重要极限求极限

21
23sinxxcos
352xx
1limsin_____.2lim_____.
xx5xx30(1cosxx)ln(1)

利用第二个重要极限求极限

23
xxx
1lim(13xx)____.2(2012)lim(e)____.
xx00
极限中参数的确定山大考研淄博
x2
1lim()0已知axb，其中a、b是常数，则a___，b_.
xx1
sinx
2若，则lim(cosxb)5a__b__.，
x0exa
§7无穷小的比较

无穷小的比较

10当x时，下列4个无穷小量中比其他3个更高阶的无穷小量是___.

Aln(1xx)Bex1CtansinxD1cosx

1
2若xa0时，(1xxxa2)