线性代数高等数学等考研数学总结数一二.docx

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

eq\o\ac(○,注)：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.

eq\o\ac(○,注)

√关于：
=1\*GB3①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；
=2\*GB3②线性无关；
=3\*GB3③；
④；
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
行列式的定义
√行列式的计算：
=1\*GB3①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
=2\*GB3②若都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）
=3\*GB3③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④关于副对角线：（即：所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和）
⑤范德蒙德行列式：
矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或
伴随矩阵，为中各个元素的代数余子式.
√逆矩阵的求法:
=1\*GB3①eq\o\ac(○,注)：
=2\*GB3②
=3\*GB3③
√方阵的幂的性质：
√设的列向量为,的列向量为，
则，为的解可由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵.
同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.
即：
√用对角矩阵eq\o\ac(○,左)乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的eq\o\ac(○,行)向量；
用对角矩阵eq\o\ac(○,右)乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的eq\o\ac(○,列)向量.
√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
√分块矩阵的转置矩阵：
分块矩阵的逆矩阵：

分块对角阵相乘：,
分块对角阵的伴随矩阵：
√矩阵方程的解法()：设法化成

零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.（向量个数变动）
原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.（向量维数变动）
两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.
维列向量组线性相关；
维列向量组线性无关.
若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对施行一次初等eq\o\ac(○,行)变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵eq\o\ac(○,左)乘；
对施行一次初等eq\o\ac(○,列)变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵eq\o\ac(○,右)乘.
矩阵的秩如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作
向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作
矩阵等价经过有限次初等变换化为.记作：
向量组等价和可以相互线性表示.记作：
矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.
向量组可由向量组线性表示有解≤.
向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；
任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.
向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
设是矩阵,若，的行向量线性无关；
若，的列向量线性无关,即：线性无关.
√矩阵的秩的性质：
①≥≤≤②
③
④
⑤≤
⑥即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦若；
若
⑧等价标准型.

⑨≤≤≤
⑩

eq\o\ac(○,注)：
线性方程组的矩阵式向量式

矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）线性方程组解的性质：
√设为矩阵,若一定有解，
当时,一定不是唯