线性代数、高等数学等考研数学总结(数一二).pdf

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r(A)nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Ax只有零解x，AxA0nR,Ax总有唯一解ATA是正定矩阵AEApppp是初等阵12si存在n阶矩阵使B得,或ABEABE注○：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.A不可逆r(A)nA0A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax有非零解,其基础解系即为A关于0的特征向量r(aEbA)n注○aEbA(aEbA)x有非零解a=-b向量组等价矩阵等价()具有反身性、对称性、传递性矩阵相似(:)矩阵合同(:)√关于e1,e2,,en：nn①称为R的标准基，R中的自然基，单位坐标向量p教材87；②e1,e2,,en线性无关；③e1,e2,,en1；④trE=n；⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,,en线性表示.a11a12a1na21a22a2n行列式的定义D(1)(j1j2jn)aaan1j12j2njnj1j2jnan1an2ann√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AOAAO=ABOBOBB②若A与B都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式）OAA=(1)mnABBOBO③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.a1nOa1na2n1a2n1n(n1)④关于副对角线：(1)2aaa（即：所有取自不同行不同1n2nn1an1Oan1O列的n个元素的乘积的代数和）111x1x2xn⑤范德蒙德行列式：222xxx1x2xnij1jinn1n1n1x1x2xna11a12a1naaa21222n矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表A称为mn矩阵.记作：Aaij或mnam1am2amnAmnA11A21An1TAAA*1222n2伴随矩阵AAij，Aij为A中各个元素的代数余子式.A1nA2nAnn√逆矩阵的求法:11Aab1db主换位①A注○：Acdadbcca副变号②(AE)初等行变换(EA1)1111aaaa111311③a2a2a2a211a3a3a3a1√方阵的幂的性质：AmAnAmn(Am)n(A)mn√设Amn,Bns,A的列向量为1,2,,n,B的列向量为1,2,,s，b11b12b1sb21b22b2s则ABC,,,c,c,,cAc，(i1,2,,s)为ms12n12siiibn1bn2bnsAxci的解A1,2,,sA1,A2,,Asc1,c2,,csc1,c2,,cs可由1,2,,n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为系数矩阵.a11a12a1n1c1a111a122a1n2c1a21a22a2n2c2a211a222a2n2c2即：an1an2amnncmam11am22amn2cm左行√用对角矩阵○乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○向量；右列用对角矩阵○乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.TABATCT分矩的置矩：√块阵转阵TTCDBD11AA1AB1分矩的逆矩：块阵阵11BBBA11ACA1A1CB1AOA1O11OBOBCBBCABABABAn分角相乘：11111111n11块对阵A,BAB