正弦定理与余弦定理的综合应用.docx

正弦定理与余弦定理的综合应用
(本课时对应学生用书第页)

自主学习回归教材

1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13，则cosC=.
【答案】-
【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cosC==-.

2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A=.
【答案】
【解析】由sinC=2sinB得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，
所以cosA==，所以角A=.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为nmile/h.

(第3题)
【答案】

4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinA+csinC-asinC=bsinB，则角B=.
【答案】45°
【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，故cosB=，因此B=45°.

5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为.
【答案】
【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cosB==≥，
因为0<B<π，所以0<B≤.

1.测量问题的有关名词
(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.
(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.
(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.
(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.
(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.

2.求解三角形实际问题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；
(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.

【要点导学】

要点导学各个击破

利用正、余弦定理解常见的三角问题
例1(2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asinB=2.
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.
【解答】(1)由正弦定理，得asinB=bsinA.
因为b=4，asinB=2，所以sinA=.
又0<A<，所以A=.
(2)若b=4，c=6，由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccosA=16+36-2×24×=28，
所以a=2.
又因为asinB=2，所以sinB=，
所以cosB=.
因为D为BC的中点，所以BD=DC=.
在△ABD中，由余弦定理，
得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB，
即AD2=36+7-2×6××=19，
所以AD=.

变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b，求cosB的值；
(2)若B=90°，且a=，求△ABC的面积.
【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.
又因为a=b，所以b=2c，a=2c，
由余弦定理可得cosB==.
(2)由(1)知b2=2ac.
因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac，得c=a=.
所以△ABC的面积为1.
【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.

实际问题中解三角形
例22011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80nmile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40nmile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.

(例2(1))
(1)若救援船的航行速度为60nmile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(≈2.646，结果保留两位小数)；
(2)求tanθ的值.
【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解