正弦定理余弦定理的综合应用.doc

正弦定理、余弦定理的综合应用江苏省盐城市时杨中学刘长柏224035(0515-88092352)正弦定理和余弦定理是解决有关斜三角形的两个重要定理，其主要作用是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关系，使问题得以解决。通过正、余弦定理沟通了三角函数与三角形有关性质，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.在研究较复杂的三角形问题时，常需正、余弦定理联袂出场、密切协作，方能解决问题.一、典型例题（一）解三角形正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．例1、在中，a=2，b=6，A=300，则边c=（）A、2B、4C、2或4D、以上均不对剖析一：已知两边及一边的对角，通常可以考虑运用正弦定理，但要注意解的个数的判断。解一：由正弦定理得，，又a＜b，∴B=600或1200。当B=600时，；当B=1200时，C=A=300，c2=2，故选C。剖析二：也可考虑运用余弦定理，得到关于边c的方程可求。解二：由余弦定理得，，即，解得c=2或4，故选C。点评：两法均可解出，但第二种解法显得更简洁，不容易出错。已知两边及其中一边的对角解三角形，采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，体现了方程思想的应用。此题也可用正弦定理求解，利用正弦定理求出角或边，再求其他的边或角，要注意进行讨论。（二）判断三角形的形状利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的，利用正弦定理的公式，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：；利用余弦定理公式，，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．例2、△ABC中，若，判断△ABC的形状。解一：由正弦定理：∴2A=2B或2A=1802B即：A=B或A+B=90∴△ABC为等腰或直角三角形解二：由题设：化简：b2(a2+c2b2)=a2(b2+c2a2)∴(a2b2)(a2+b2c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形．点评：已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,有两条思路:①化边为角,再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式;②化角为边,再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式.两种转化主要是应用正弦定理和余弦定理.（三）三角形中的恒等式证明根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式．例3、在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC证明一：a2sin2B＋b2sin2A＝（2RsinA）2·2sinB·cosB＋（2RsinB）2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB（sinAcosB＋cosAsinB）＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC所以原式得证.证明二：左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinA·cosA＝a2·eq\f(2b,k)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b2·eq\f(2a,k)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ab,kc)（a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2）＝eq\f(ab,kc)·2c2＝2ab·eq\f(c,k)＝2absinC所以原式得证.点评：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系，证明考虑两种途径：一是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；二是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理。（四）在实际问题中的运用例4、某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9nmile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用x表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题.解：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为xh，则AB＝21xnmile，BC＝9xnmile，AC＝10nmile，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°根据余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2