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导数常用的一些技巧和结论.docx

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导数常用的一些技巧和结论 （2017年全国新课标1·理·21）已知. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 解析：（1） 若，则恒成立，所以在R上递减； 若，令，得. 当时，，所以在上递减； 当时，，所以在上递增. 综上，当时，在R上递减；当时，在上递减，在上递增. （2）有两个零点，必须满足，即，且. 构造函数，.易得，所以单调递减. 又因为，所以. 下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，. 事实上，构造函数，易得，∴，所以，即. 当时，， ， 其中，，所以在和上各有一个零点. 故的取值范围是. 注意：取点过程用到了常用放缩技巧。 一方面：； 另一方面：时，（目测的） 常用的放缩公式（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数），， （放缩成双撇函数），， ，， （放缩成二次函数），， （放缩成类反比例函数），，， ，， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数），，， （放缩成类反比例函数），， （放缩成二次函数），， 第三组：指对放缩 第四组：三角函数放缩 ，，. 第五组：以直线为切线的函数 ，，，，. 几个经典函数模型 经典模型一：或. 【例1】讨论函数的零点个数. （1）时，无零点. ，. （2）时，1个零点. ，. （3）当时，2个零点. （目测），，其中.（放缩） . ，其中.（用到了） （4）当时，1个零点. ，单调递增.， . 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：）： 1.讨论的零点个数（令，）； 2.讨论的零点个数（令）； 3.讨论的零点个数（考虑）； 4.讨论的零点个数（考虑，令，）； 5.讨论的零点个数（令，）； 6.讨论的零点个数（令）. 经典模型二：或 【例2】讨论函数的零点个数. （1）时，1个零点. ，单调递增. 且，，所以在上有一个零点； （2）时，无零点. 恒成立； （3）时，无零点. ； （4）时，2个零点. ，，. 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：）： 1.讨论的零点个数（令，）； 2.讨论的零点个数（去分母后与1等价）； 3.讨论的零点个数（移项平方后与1等价）； 4.讨论的零点个数（移项开方后换元与1等价）； 5.讨论的零点个数（乘以系数e，令）； 6.讨论的零点个数（令，转化成2） 7.讨论的零点个数（令，）； 经典模型三：或 【例】讨论函数的零点个数. （1）时，1个零点. ，单调递增. ，. （2）时，1个零点（）. （3）时，无零点. ， （4）时，1个零点. . （5）时，2个零点. ，，， 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：）： 1.讨论的零点个数； 2.讨论的零点个数（考虑，令）； 3.讨论的零点个数（令）； 4.讨论的零点个数； 练习题 1.已知函数有两个零点，求的取值范围. 2.设函数，讨论的导函数的零点的个数. 3.已知函数有两个零点，求的取值范围. 4.已知函数.当时，试讨论的零点的个数.