平面向量复习讲义.docx

平面向量复习
一．向量有关概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有)；
④三点共线共线；
6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
【练习】
1、下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；
2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
A
B
C
D
E
F
【练习】
1、若，如何用，表示？
2、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.B.
C.D.
3、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；
4、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点，
且eq\o(AC,\d\fo1()\s\up14(→))＝meq\o(AE,\d\fo1()\s\up14(→))＋neq\o(AF,\d\fo1()\s\up14(→))，其中m，n∈R，则m＋n＝.

5、在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60，E为CD中点，AE与BD相交于点F，（1）用，表示。（2）求出eq\o(\s\up8(),\s\do1(AE))eq\o(\s\up8(),\s\do1(BD))．

四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。

五．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如
【练习】
1、△ABC中，，，，则_________
（答：－9）；
2、已知，与的夹角为，则等于____
（答：1）；
3、已知，则等于____
（答：）；
4、已知是两个非零向量，且，则的夹角为____
（答：）
3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。
练习：已知，，且，则向量在向量上的投影为__（答：）

4．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。
5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角的计算公式：；④。
1、已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______
（答：或且）；
2、已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形
3、已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：）；
六．向量的运算：
1．几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；
②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
【练习】
1、化简：①___；②____；③_____
2、若正方形的边长为1，，则＝_____