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第十六章偏导数与全微分

§1偏导数与全微分的概念

1．求下列函数的偏导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
2．设

考察函数在(0,0)点的偏导数.
3．证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在.
4．求下列函数的全微分：
(1)；
(2).
5．求下列函数在给定点的全微分：
(1)在点(1,0)和(0,1)；
(2)在点(0,1)和(1,1)；
(3)在点(1,1,1)；
(4)在点（0，1）.
6．考察函数在(0,0)点的可微性，其中

7．证明函数

在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。
8．证明函数

的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而在原点(0,0)可微。
9．设

证明和在(0,0)点连续.
10．设

证明在(0,0)点可微，并求.
11．设

(1)是通过原点的任意可微曲线（即时，、可微）.求证可微.
(2)在(0,0)不可微.
12．设很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：
(1)
(2).
13．设在矩形：内可微，且全微分恒为零，问在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论.
14．设在存在，在连续，求证在可微.
15．求下列函数的所有二阶偏导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(3).
16．求下列函数指定阶的偏导数：
(1),求；
(2)，求所有三阶偏导数；
(3),求，；
(4),求；
(5)，求；
(6),求.
17．验证下列函数满足
.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
18．设函数，证明
.
19．设在点的某邻域内存在且在点可微，则有
.

§2复合函数与隐函数微分法

1．求下列函数的所有二阶偏导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
2．设，其中是可微函数，验证
.
3．设，为常数，函数二阶可导，。
证明.
4．若函数对任意正实数满足关系
，
则称为次齐次函数.设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是
.
5．验证下列各式：
(1),则；
(2),则；
(3),则；
(4),则.
6．设可微，在极坐标变换，
下，证明
.
这时称是一个形式不变量.
8．设函数满足拉普拉斯方程
，
证明在下列变换下形状保持不变，即仍有.
(1),；
(2)；
(3)满足.这组方程称为柯西－黎曼方程.
9．作自变量的变换，取为新自变量：
(1),变换方程；
(2),变换方程.
10．作自变量和因变量的变换，取为新的自变量，为新的因变量：
(1)设，变换方程
；
(2)设，变换方程
.
11．求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
12．求由下列方程所确定的函数的全微分；
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
13．设由方程
所确定，证明。
14．设，其中为由方程所确定的隐函数，求和.
15．设，其中为由方程所确定的隐函数，求，.
16．求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：
(1）求；
(2)求；
(3)求；
(4)求.
17．下列方程组定义为的函数，求，.
(1)(2)

§3几何应用

1．求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“
(1),在点；
(2),在点(1,-1,2)；
(3),在点(1,-2,1)；
(4),在点.
2．求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：
(1)，在点（1,1,2）；
(2)在点；
(3)在点(2,1,12)；
(4)在点.
3．证明曲线在锥面的母线相交成同一角度.
4．求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.
5．求曲面的切平面，使它平行于平面.
6．证明：曲面的切平面与某一定直线平行，其中为常数.
7．证明曲面的每一切平面都通过原点.
8．求两曲面

的交线在平面上的投影曲线的切线方程.

§4方向导数

1．设，求在点沿到点的方向导数.
2．求函数在点处沿到点的方向上的方向导数.
3．求：
(1)，，与轴正向的夹角为；
(2),,与向量同向.
4．设函数在可微，单位向量，，，，确定使得
.
5．设在可微，在指向的方向导数是1，指向原点的方向导数是－3，试回答：
(1)指向的方向导数是多少？
(2)指向的方向导数是多少？

§5泰勒公式

1．写出下列函数在指定点的泰勒公式：
(1)，在(1,-2)点.
(2)，在(-1,1)点.
2．求函数在(1,1)点邻域的阶带拉格朗日余项的泰勒公式.
3．求函数在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗日余项.
4．求下列函数在点邻域的四阶泰勒公式：
(1)；
(2)；
(3);
(4)。
5．证明泰勒公式的唯一性：若，
其中.求证（为非负整数，…），并利用唯一性求带拉格朗日余项的阶泰勒展开式.
6．通过对用中值定理