厚壁圆筒的弹塑性分析66049.docx

外压厚壁圆筒的弹塑性分析

姓名：黄达飞

指导老师：林智育
时间：2011-6-25

问题描述
内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力p（如图1（a）），圆筒材料为理想弹塑性的（如图1（b））。随着压力p的增加，圆筒内的及都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其也在增加。当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。
为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设。

（a）（b）
图1厚壁圆筒
弹性分析
1.基本方程
平面轴对称问题中的未知量为，，，，u，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为
（1）
几何方程为
，（2）
本构方程为
（3）
边界条件为
，在力的边界上（4）
2.应力的求解
取应力分量，为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为
（5）
如图1（a）所示内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处受外压p，内表面没有压力，相应的边界条件为
，
将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为
，
则应力分量为
（6）
上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。

弹塑性分析
屈服条件
在塑性理论中，常用的屈服条件是米泽斯（Mises）屈服条件，其表达式为：
（7）
由于厚壁圆筒为轴对称平面应变问题，则有，即，，均为主应力，且由以及，可以得到，代入Mises屈服条件其表达式为

（8）
2．弹塑性分析
当压力p较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，由式（6）可求出应力分量
（9）
在处有最大值，即筒体由内壁开始屈服，若此时的压力为，由式（8）和（9）可以求得弹性极限压力为
（10）
当时，圆筒处于弹性状态；当时，在圆筒内壁附近出现塑性区，并且随着压力的增大，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍然为弹性区。由于应力组合的轴对称性，塑性区和弹性区的分界面为圆柱面。设筒体处于弹塑性状态下的压力为，弹塑性分界半径为，分别考虑两个变形区（图2），也可将两个区域按两个厚壁圆筒分别进行讨论，设弹性区和塑性区的相互作用力为，即。

图2弹塑性分析
为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为，外半径为b，承受外压，内压的厚壁圆筒。由圆筒的弹性分析公式可以求得弹性区（）的应力分量为
（11）
为求解塑性区的应力分量，将弹性区作为内半径为a，外半径为，承受外压的厚壁圆筒。应满足平衡方程和屈服条件，即

由上面两式可得

由于在r=处压力为，即，代入可得，代入表达式，并利用屈服条件求得，即塑性区（）的应力分量为
（12）
上式（11）和（12）中的和是未知量，由径向应力边界条件确定他们之间的关系。
在塑性区的r=a处压力为0，即，代入式（12）的第一式可得
（13）
在弹性区的r=处刚达到屈服，由屈服条件可得
（14）
上式给出了，当给定可以确定，或者给定后也可以确定。
将式（13）、（14）确定的代入式（11）、（12），则可以得到表示的弹性区（）和塑性区（）的应力分量。
（15）
（16）
随着压力的增加，塑性区不断扩大，当=b时，整个截面进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限状态，此时的压力不能继续增加，该临界值称为塑性极限压力，以表示。将=b代入式（14），得
（17）
令式（16）中的=b，则得压力达到时的应力分量，此时整个截面进入塑性状态。
（18）
取，，，，则由式（10）、（13）、（14）、（17）可得
，，，（19）
将式（19）代入式（9）、（15）、（16）、（18）中可以得到在、、作用下的应力分布如图3所示。

（a）作用下的应力分布

（b）作用下的应力分布

（c）作用下的应力分布
图3应力分布
三种状态下均有，，且绝对值的最大值在筒体的外壁处，而的绝对值的最大值则随着外压的增加而由内壁移动到外壁。

有限元分析
由于厚壁圆筒具有中心对称性，且所受的载荷也具有中心对称性，所以其应力分布同样具有中心对称性；厚壁圆筒是平面应变状态。
为了计算简便，可以将模型简化为1/4的平面圆环，并且加上适当的载荷边界条件和位移边界条件，其abaqus模型如图4所示。

图4厚壁圆筒的abaqus模型
定义材料的屈服极限为，划分成四节点四边形平面应变单元（如图5），定义不同大小的外压p提交计算。

图5厚壁圆筒的有限元网格
当时，，圆筒处于弹性状态，计算结果如图6，可以看出整个模型处于弹性状态没有塑性应变。