厚壁圆筒的弹塑性分析.docx

厚壁圆筒的弹塑性分析

姓名：王海萍
学号：2011200147
指导老师：丹丹
时间：2012-2-12

问题描述
内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力p（如图1（a）），圆筒材料为理想弹塑性的（如图1（b））。随着压力p的增加，圆筒内的及都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其也在增加。当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。
为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设。

（a）（b）
图1厚壁圆筒
弹性分析
1.基本方程
平面轴对称问题中的未知量为，，，，u，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为
（1）
几何方程为
，（2）
本构方程为
（3）
边界条件为
，在力的边界上（4）
2.应力的求解
取应力分量，为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为
（5）
如图1（a）所示内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处受外压p，内表面没有压力，相应的边界条件为
，
将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为
，
则应力分量为
（6）
上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。

弹塑性分析
屈服条件
在塑性理论中，常用的屈服条件是米泽斯（Mises）屈服条件，其表达式为：
（7）
由于厚壁圆筒为轴对称平面应变问题，则有，即，，均为主应力，且由以及，可以得到，代入Mises屈服条件其表达式为
（8）
2．弹塑性分析
当压力p较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，由式（6）可求出应力分量
（9）
在处有最大值，即筒体由内壁开始屈服，若此时的压力为，由式（8）和（9）可以求得弹性极限压力为
（10）
当时，圆筒处于弹性状态；当时，在圆筒内壁附近出现塑性区，并且随着压力的增大，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍然为弹性区。由于应力组合的轴对称性，塑性区和弹性区的分界面为圆柱面。设筒体处于弹塑性状态下的压力为，弹塑性分界半径为，分别考虑两个变形区（图2），也可将两个区域按两个厚壁圆筒分别进行讨论，设弹性区和塑性区的相互作用力为，即。

图2弹塑性分析
为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为，外半径为b，承受外压，内压的厚壁圆筒。由圆筒的弹性分析公式可以求得弹性区（）的应力分量为
（11）
为求解塑性区的应力分量，将弹性区作为内半径为a，外半径为，承受外压的厚壁圆筒。应满足平衡方程和屈服条件，即

由上面两式可得

由于在r=处压力为，即，代入可得，代入表达式，并利用屈服条件求得，即塑性区（）的应力分量为
（12）
上式（11）和（12）中的和是未知量，由径向应力边界条件确定他们之间的关系。
在塑性区的r=a处压力为0，即，代入式（12）的第一式可得
（13）
在弹性区的r=处刚达到屈服，由屈服条件可得
（14）
上式给出了，当给定可以确定，或者给定后也可以确定。
将式（13）、（14）确定的代入式（11）、（12），则可以得到表示的弹性区（）和塑性区（）的应力分量。
（15）
（16）
随着压力的增加，塑性区不断扩大，当=b时，整个截面进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限状态，此时的压力不能继续增加，该临界值称为塑性极限压力，以表示。将=b代入式（14），得
（17）
令式（16）中的=b，则得压力达到时的应力分量，此时整个截面进入塑性状态。
（18）
取，，，，则由式（10）、（13）、（14）、（17）可得
，，，（19）
将式（19）代入式（9）、（15）、（16）、（18）中可以得到在、、作用下的应力分布如图3所示。

（a）作用下的应力分布

（b）作用下的应力分布

（c）作用下的应力分布
图3应力分布
三种状态下均有，，且绝对值的最大值在筒体的外壁处，而的绝对值的最大值则随着外压的增加而由内壁移动到外壁。

工程运用
厚壁圆筒是一种重要的工程结构，在土木、水电、矿山、化工、核电等工程领域有着广泛的应用，对厚壁圆筒进行极限分析对工程应用具有重要的意义．下面是工程中对厚壁圆筒应用的一些举例说明：
1.尺寸效应
从上世纪90年代末至本世纪初，国内外学者开始采用Mohr-Coulomb和双剪强度理论对厚壁圆筒进行弹塑性分析,为了扩大传统极限解的适用范围，赵均海等对理想弹塑性材料厚壁圆筒进行极限分析，得到能够适用于多种材料的统一极限解．有关厚壁圆筒弹塑性极限的研究均是在传统弹塑性理论框架下进行的，得