北京市朝阳区高三二模理科数学试卷解析版.docx

2016年北京市朝阳区高三二模理科数学试卷

一、单选题（共8小题）
1．已知集合，，则＝（）
A． B．
C． D．
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A．6 B．10 C．14 D．15
4．已知非零向量，，“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．同时具有性质:“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（）
A． B．
C． D．
6．已知函数且的最大值为，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题）
9.双曲线的渐近线方程是；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则______．
10.如图，为⊙外一点，是⊙的切线，为切点，割线与⊙相交于两点，且，为线段的中点，的延长线交⊙于点．若，则的长为______；的值是________．
11.已知等边的边长为3，是边上一点，若，则的值是______．
12.已知关于的不等式组所表示的平面区域为三角形区域，则实数的取值范围是_____．
13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表示前年的纯利润（=前年的总收入－前年的总费用支出－投资额），则_____（用表示）；从第_____年开始盈利.
14.在平面直角坐标系中，以点，曲线上的动点，第一象限内的点，构成等腰直角三角形，且，则线段长的最大值是_____．
三、解答题（共6小题）
15.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ)若角为锐角，求的值及的面积．
16.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为，五个级别规定如下：
某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段(早晨7点至9点)的交通指数(平均值)，其统计结果如直方图所示．
（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数；
（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间的数学期望．
17.如图1，在等腰梯形中，，，，为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围．
19.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；
（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
20.已知集合，且．若存在非空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集．
（Ⅰ）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；
（Ⅱ）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，求证：，，都有；
（Ⅲ）求证：对任意正整数，集合具有性质．

答案部分
1.考点：集合的运算
试题解析：所以=。
故答案为：A
答案：A

2.考点：复数乘除和乘方
试题解析：则z在复平面内对应的点为位于第二象限。
故答案为：B
答案：B

3.考点：算法和程序框图
试题解析：是；是；是；，否，
则输出的值为10.
故答案为：B
答案：B

4.考点：平面向量的几何运算
试题解析：若∥，则=，则=（1+），故∥；反过来，若∥，则=，所以=-1），所以∥。所以“∥”是“∥”的充要条件。
故答案为：C
答案：C

5.考点：三角函数的图像与性质
试题解析：故排除A；
又图象关于直线对称，所以函数在处取得最值，故排除C；
又，对B：，是减函数，故B错。
故答案为：D