函数与方程思想在数列中应用.docx

典例4[2015·湖北高考]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn＝eq\f(an,bn)，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解](1)由题意有，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋45d＝100，,a1d＝2，))
即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋9d＝20，,a1d＝2，))
解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝\f(2,9).))
故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2n－1，,bn＝2n－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝\f(1,9)2n＋79，,bn＝9·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)))n－1.))
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝eq\f(2n－1,2n－1)，于是
Tn＝1＋eq\f(3,2)＋eq\f(5,22)＋eq\f(7,23)＋eq\f(9,24)＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)，①
eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋eq\f(7,24)＋eq\f(9,25)＋…＋eq\f(2n－1,2n).②
①－②可得
eq\f(1,2)Tn＝2＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(2n－1,2n)＝3－eq\f(2n＋3,2n)，
故Tn＝6－eq\f(2n＋3,2n－1).

数列问题函数(方程)化法
数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：
第一步：分析数列式子的结构特征．
第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．
第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．
第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．

【针对训练4】[2016·东城模拟]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝eq\f(1,Sn＋1)＋eq\f(1,Sn＋2)＋…＋eq\f(1,S2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
解(1)因为a1＝2，aeq\o\al(2,3)＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)因为Sn＝n(n＋1)，
bn＝eq\f(1,Sn＋1)＋eq\f(1,Sn＋2)＋…＋eq\f(1,S2n)
＝eq\f(1,n＋1n＋2)＋eq\f(1,n＋2n＋3)＋…＋eq\f(1,2n2n＋1)
＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋2)－eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(1,2n＋1)
＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(n,2n2＋3n＋1)
＝eq\f(1,2n＋\f(1,n)＋3)，
令f(x)＝2x＋eq\f(1,x)(x≥1)，
则f′(x)＝2－eq\f(1,x2)，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝eq\f(1,6)，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝eq\f(1,6)，
所以实数k的最小值为eq\f(1,6).

数列
1．等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
2．等差数列前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na