完整版复合函数求导公式-复合函数综合应用.doc

(完整版)复合函数求导公式,复合函数综合应用
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(完整版)复合函数求导公式,复合函数综合应用
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导数的运算法则及基本公式应用
一、常用的求导公式

二、复合函数的导数
若u=u(x），v=v（x）在x处可导,则

三、基础运用举例
1y=esinxcos（sinx)，则y′（0）等于（)
A0 B1 C－1 D2
2经过原点且与曲线y=相切的方程是(）
Ax+y=0或+y=0 Bx－y=0或+y=0
Cx+y=0或－y=0 Dx－y=0或－y=0
3若f′(x0)=2，=_________
4设f(x）=x(x+1）（x+2）…（x+n）,则f′(0)=_________

5已知曲线C1：y=x2与C2：y=－(x－2）2,直线l与C1、C2都相切,求直线l的方程

6求函数的导数
（1）y=(x2－2x+3)e2x;
(2）y=

四、综合运用举例
例1求函数的导数

（2)解y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by
v=x，y=sinγγ=ωx
y′=（μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by）′
=3μ2(av′－by′)=3μ2（av′－by′γ′)
=3（ax－bsin2ωx）2(a－bωsin2ωx）
(3）解法一设y=f（μ)，μ=，v=x2+1,则
y′x=y′μμ′v·v′x=f′（μ）·v－·2x
=f′()··2x=
解法二y′=［f()］′=f′()·()′
=f′（)·（x2+1)·（x2+1）′
=f′()·（x2+1）·2x
=f′（）

例2已知曲线Cy=x3－3x2+2x,直线l：y=kx,且l与C切于点（x0,y0)（x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标
解由l过原点，知k=（x0≠0),点（x0，y0)在曲线C上,y0=x03－3x02+2x0,
∴=x02－3x0+2
y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2
2x02－3x0=0，∴x0=0或x0=
由x≠0，知x0=
∴y0=(）3－3（)2+2·=－
∴k==－
∴l方程y=－x切点(，－)

五、巩固练习
1。函数y=的导数是
A。B。C。－D.－
2。已知y=sin2x+sinx,那么y′是
A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值,又有最小值的偶函数
C。仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数
3.函数y=sin3(3x+)的导数为
A.3sin2（3x+)cos（3x+)B。9sin2(3x+）cos（3x+)
C.9sin2(3x+)D.－9sin2（3x+)cos(3x+）
4。函数y=cos（sinx)的导数为
A。－［sin（sinx）］cosx B.－sin（sinx）
C。［sin(sinx)］cosx D.sin（cosx）
5。函数y=cos2x+sin的导数为
A.－2sin2x+ B.2sin2x+
C。－2sin2x+ D。2sin2x－
6.过曲线y=上点P（1,)且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为
A。2y－8x+7=0 B.2y+8x+7=0C.2y+8x－9=0 D。2y－8x+9=0
二、填空题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）
7.函数y=(1+sin3x)3是由___________两个函数复合而成.

8。曲线y=sin3x在点P（,0)处切线的斜率为___________.

9.函数y=xsin（2x－）cos(2x+）的导数是。

10。函数y=的导数为.

11.函数y=cos3的导数是___________.

参考答案
1解析y′=esinx［cosxcos（sinx）－cosxsin（sinx)］，y′(0)=e0(1－0）=1
答案B
2解析设切点为（x0，y0）,则切线的斜率为k=,
另一方面，y′=(）′=,
故y′（x0)=k，即或x02+18x0+45=0
得x0(1)=－3,x0（2)=－15，对应有y0（1)=3,y0（2）=，
因此得两个切点A(－3，3）或B(－15,），
从而得y′（A)==－1及y′（B)=,
由于切线过原点,故得切线lA：y=－x或lB：y=－
答案A
3解析根据导数的定义
f′（x0)=（这时）

答案－1
4解析设g（x）=（x+1）（x+2)……（x+n)，则f(x)=xg(x）,
于是f′（x）=g(x)+xg′(x），f′（0）=g(0)+