铁军考研数学导学班讲义.docx

万学海文2013考研
数学导学班辅导讲义

主讲:铁军教授

铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在北京、南京、天津、沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！
2013年，考研竞争空前激烈！我们邀请铁军老师亲临海文面授，为您考研成功指点迷津，保驾护航。大师风范，品质感人！
2013年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您更加自信！

数学考试根据工学、经济学、管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，将数学统考试卷分为数学一、数学二、数学三。

第一节函数及其特性

函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。

【考点分析】按照考试大纲的要求，函数部分主要考查：函数的四个常见性态——奇偶性、单调性、周期性、有界性与函数的两种运算——复合运算和反函数运算。在历年的试题中，既有单纯考查函数有关知识的题目，也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目。题型以填空题和选择题为主。

一、函数的奇偶性

设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若对于任SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为偶函数；若对于任SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为奇函数。偶函数SKIPIF1<0的图形关于SKIPIF1<0轴对称，奇函数SKIPIF1<0的图形关于坐标原点对称。

【考点一】判别给定函数SKIPIF1<0的奇偶性的主要方法是：不管SKIPIF1<0的具体形式是什么，均计算SKIPIF1<0的值。如果SKIPIF1<0，则由定义知SKIPIF1<0为偶函数；如果SKIPIF1<0，则由定义知SKIPIF1<0为奇函数。
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（1）SKIPIF1<0
（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
（3）SKIPIF1<0

【考点二】设SKIPIF1<0二阶可导，则有：
若SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，且
SKIPIF1<0。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。
若SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0为偶函数，且
SKIPIF1<0。简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。
【例2（1997数学三、四）】若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0内有(C)
（A）SKIPIF1<0 （B）SKIPIF1<0
（C）SKIPIF1<0 （D）SKIPIF1<0

二、函数的周期性

对函数SKIPIF1<0，若存在常数SKIPIF1<0，使得对于定义域的每一个SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍在定义域内，且有SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为周期函数，T称为SKIPIF1<0的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数SKIPIF1<0，计算是否有等式SKIPIF1<0成立。而对于抽象的周期函数，其周期SKIPIF1<0一定与已知条件中所给的参数或常数有关，是其二倍、三倍SKIPIF1<0。
【例3】设对任何SKIPIF1<0存在常数SKIPIF1<0。证明SKIPIF1<0是周期函数。

【例4】设SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0内，SKIPIF1<0（）.
(A)是周期函数，周期为SKIPIF1<0(B)是周期函数，周期为SKIPIF1<0
(C)是周期函数，周期为SKIPIF1<0(D)不是周期函数

【例5】设SKIPIF1<0在SKIPIF1