2011年考研数学导学视频班讲义-铁军.doc

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万学海文2011考研数学导学班辅导讲义

主讲铁军教授

高等数学
铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在北京、南京、天津、沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学钻石卡保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！
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2011年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您更加自信！

数学考试根据工学、经济学、管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，将数学统考试卷分为数学一、数学二、数学三。

第一章函数及其特性

函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。

【考点分析】按照考试大纲的要求，函数部分主要考查：函数的四个常见性态——奇偶性、单调性、周期性、有界性与函数的两种运算——复合运算和反函数运算。在历年的试题中，既有单纯考查函数有关知识的题目，也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目。题型以填空题和选择题为主。

一、函数的奇偶性

设函数的定义域为，若对于任，都有，称为偶函数；若对于任都有，称为奇函数。偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称。

【考点一】判别给定函数的奇偶性的主要方法是：不管的具体形式是什么，均计算的值。如果，则由定义知为偶函数；如果，则由定义知为奇函数。
【例1】判别下列函数的奇偶性：
（1）
（2），
（3）

【考点二】设二阶可导，则有：
若为奇函数，则为偶函数，为奇函数，且
。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。
若为偶函数，则为奇函数，为偶函数，且
。简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。
【例2（1997数学三、四）】若在内且，则在内有()
（A） （B）
（C） （D）

二、函数的周期性

对函数，若存在常数，使得对于定义域的每一个，仍在定义域内，且有，则称函数为周期函数，T称为的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数，计算是否有等式成立。而对于抽象的周期函数，其周期一定与已知条件中所给的参数或常数有关，是其二倍、三倍。
【例3】设对任何存在常数。证明是周期函数。

【例4】设，则在内，（）.
(A)是周期函数，周期为(B)是周期函数，周期为
(C)是周期函数，周期为(D)不是周期函数

【例5】设在上有定义，且恒有关系式
成立，其中为正实数，证明是周期函数。

【考点四】可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有，则，
。
【例6】设函数具有二阶导数，并满足且若则（）
(A)(B)
(C)(D)

三、函数的有界性

设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。

【考点五】（1）无界变量与无穷大量的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。
（2）非零的有界变量与无穷大量的乘积是无界变量，但不是无穷大量.
【评注】(1)无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面。
（2）用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念。
是指，在x=x0处的充分小邻域内，对于所有的都可以任意大，而“无界”不要求“所有的”。
【例7】设函数，则f(x)是（）

【例8】当时，变量是（）
（A）无穷小。 （B）无穷大。
（C）有界的，但不是无穷小量。 （D）无界的，但不是无穷大。

【例9】设数列，则下列断言正确的是（）
（A）若发散，则必发散（B）若无界，则必有界
（C）若有界，则必为无穷小（D）若为无穷小，则必为无穷小

四、函数的单调性

设函数在区间上有定义，若对于上任意两点与且时，均有，则称函数在区间上单调增加（或单调减少）。如果其中的“≤”或“≥”改为“<”（或“>”），称函数在上严格单调增加（或严格单调减少）。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，若对任一