高中数学奥林匹克竞赛训练题(215)(无答案) 试题.doc

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（215）（无答案）
第一试
一、填空题
1.已知数列满足对于任意正整数，均有。则
2.已知实数满足则的最大值为
3.若从1，2，…，14这14个整数中同时取三个数，使得任何两数之差的绝对值不小于3，则不同的取法数为。
4.在中，CA=2,CB=6,,若点O在的平分线上，满足,且，则的取值范围是。
5.如图1，正方形ABCD的边长为1，E、F分别为边BC、AD的中点，将沿BF所在直线进行翻折，将沿DE所在直线进行翻折，则在翻折的过程中，点A与C之间的最大距离为。
6.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B，过右焦点F2的直线与椭圆C交于点。若,则实数=。
7.已知函数，对于任意的恒有。则实数的取值范围是。
8.若的展开式，则。

二、解答题
9.在数列中，。证明：

10.在中，所对的边分别为.若,求的度数。

11.如图2，椭圆，抛物线，过抛物线上一点P（异于原点O）作切线，与椭圆交于A、B两点。
（1）切线在轴上的截取的取值范围；
（2）面积S的最大值。

加试
一、求所有的整数数对，使得为形如
的正整数。

二、已知为非零复数，且。证明：
。

三、如图3，在锐角中，D为平分线上一点，延长CD、BD，分别与AB、AC交于点E、F，直线EF与的外接圆交于M、N两点，O为的外心。证明：。

四、将圆周上的所有点进行三染色。证明：存在无穷多个等腰三角形，其顶点均为圆周上的同色点。