高中数学奥林匹克竞赛训练题(219)(无答案) 试题.doc

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（219）（无答案）
第一试
一、填空题
1.等比数列的公比为.
2.二次曲线的离心率为。
3.在复数范围内，方程与方程的公共解的个数为。
4.将边长为10、12、14的三角形沿三条中位线折起来围成四面体，则四面体的外接球直径为。
5.设正整数列满足，，其中，为的前项和，则数列的通项公式为。
6.在中，，若，则的值为。
7.掷四个色子，四个点数的乘积被6整除的概率为。
8.正方体任两个顶点确定一条直线，这些直线中垂直异面的直线共有对。

二、解答题
9.设奇数，方程的个根为1，。求表达式的值。

10.已知数列满足，记，表示不超过实数的最大整数，求的值。

11.如图1，椭圆的左、右焦点为，点A、B在上半椭圆，且,设BF1与AF2交于点P。求点P纵坐标的最大值。

加试
一、求方程的所有正实数解。

二、设正整数，已知为素数的幂，证明：为素数。

三、如图2，AD为的角平分线，直线BC不含点A的一侧有两点P、Q，满足，，作,且H为的垂心，证明：。

四、将边长为的正三角形利用平行于边的直线部分为个边长为1的小正三角形，图3为的情形。证明：存在正整数，使得小三角形的顶点中可选出2000个点，其中，任意三点均不构成正三角形。