高中数学奥林匹克竞赛训练题(197)(无答案) 试题.doc

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（197）（无答案）
第一试
填空题（每小题8分，共64分）
设.若，则的取值范围 是.
已知直线与抛物线交于两点，过的圆 与抛物线交于另外两个不同的点.则直线的倾斜角的余弦值 为.
在内，的最大值为.
称的一个全排列为“好排列”：满足存在唯一的 ，使得.若好排列的个数为，则.
在四面体中，已知，且 .则最大值的取值范围是.
设为等差数列，且.则项数的最大值 为.
已知，满足则.
用表示不超过实数的最大整数，令.则满足 的所有自然数的平方和为.

二、解答题（共56分）
9.（16分）在正项数列中，，其前项和满足.令.证明：对于任意的，均有.

10.（20分）已知曲线是以原点为中心、和分别为左和右焦点的椭圆，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线，为曲线与的交点，且为钝角，，过点作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于四点，其中，点在曲线上，点在曲线上.设为的中点，为的中点.求的值.

11.（20分）设为任意三角形的两个内角.若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

加试
（40分）如图1，为锐角的垂心，点分别在边上，直线与的延长线交于点，直线与的延长线交于点，为的外心.证明：
；
若，点与在直线的同侧，且三点共线，则为正三角形.

二、（40分）设.求最大的实数，使得对任意满足的实数，有.

三、（50分）设为有理数，且与为相等的整数.证明：存在整数，满足，其中，.

四、(50分)设为集合的任意三个元子集，且.问：是否存在，使得其中某两个数的和等于第三个数？