（江苏专用）高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量 第51练 垂直的判定与性质练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第51练垂直的判定与性质练习理
训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系．训练题型(1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直．解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.

2．(2016·福州质检)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，O为底面正方形对角线B1D1与A1C1的交点．
(1)求证：AC1⊥平面B1D1C；
(2)过E构造一条线段与平面B1D1C垂直，并证明你的结论．

3．(2016·张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．
(1)求证：直线AB1∥平面BC1D；
(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
(3)求三棱锥C－BC1D的体积．

4．(2016·山东省实验中学质检)如图所示，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为eq\f(\r(3),2)的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0＜λ＜1)．
(1)证明：PQ∥A1B1；
(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

答案精析
1．证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，DE＝eq\f(1,2)PA＝3，
EF＝eq\f(1,2)BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
2．(1)证明∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1⊂平面A1B1C1D1，
∴AA1⊥B1D1，
∵A1C1⊥B1D1，且AA1∩A1C1＝A1，
AA1⊂平面AA1C1，A1C1⊂平面AA1C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，
∵AC1⊂平面AA1C1，
∴B1D1⊥AC1.
同理可得B1C⊥平面ABC1，B1C⊥AC1，
∵B1D1∩B1C＝B1，
B1D1⊂平面B1D1C，B1C⊂平面B1D1C，
∴AC1⊥平面B1D1C.

(2)解连结EO，则线段EO与平面B1D1C垂直．
证明如下：
∵E是AA1的中点，O是A1C1的中点，
∴EO∥AC1.
∵AC1⊥平面B1D1C，
∴EO⊥平面B1D1C.
3．(1)证明连结B1C交BC1于点O，连结OD，如图，

则点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴AB1∥OD.
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴直线AB1∥平面BC1D.
(2)证明∵AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，
∴AA1⊥BD.
∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC.
∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A，
AC⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
∵BD⊂平面BC1D，
∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.
(3)解由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC，
BD＝BCsin60°＝3eq\r(3)，
∴S△BCD＝eq\f(1,2)×3×3eq\r(3)＝eq\f(9\r(3),2)，
∴V三棱锥C－BC1D＝V三棱锥C1－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),2)×6＝9eq\r(3).
4．(1)证明由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1∥平面ABC，又因为平面APQB∩平面A1B1C1＝PQ，平面APQB∩平面ABC＝AB，所以PQ∥AB.
又因为AB∥A1B1，所以PQ∥A1B1.
(2)解假设存在这样的λ满足题意，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连结CE，DE，CD.由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ为等腰三角形，APQB为等腰梯形，
所以CE⊥PQ，DE⊥PQ，

所以∠CED为二面角A－PQ