高考数学大二轮复习 专题八 选考部分 第2讲 4-5 不等式选讲练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

第二篇专题八第2讲不等式选讲
[限时训练·素能提升]
(限时40分钟，满分40分)
解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)
1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
解析(1)当a＝1时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋4，x≤－1，,2，－1<x≤2，,－2x＋6，x>2.))
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4，
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
2．(2018·巴蜀质检)设f(x)＝|2x－a|＋|x－a|(0<a≤1)．
(1)若a＝1，解关于x的不等式f(x)>2；
(2)求证：f(t)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,t)))≥6.
解析(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－1|，
①当x<eq\f(1,2)时，1－2x＋1－x>2，∴x<0；
②当eq\f(1,2)≤x≤1时，2x－1＋1－x>2，∴无解；
③当x>1时，2x－1＋x－1>2，∴x>eq\f(4,3).
综上所述，x<0或x>eq\f(4,3).
(2)证明f(t)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,t)))
＝|2t－a|＋|t－a|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,t)－a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,t)－a))
≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（2t－a）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,t)－a))))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（t－a）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,t)－a))))
＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(2,t)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))＝3eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,t)))≥3×2＝6.
3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图像；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解析(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x，x<－\f(1,2)，,x＋2，－\f(1,2)≤x<1，,3x，x≥1.))
y＝f(x)的图像如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.
4．已知函数f(x)＝|x＋b2|－|－x＋1|，g(x)＝|x＋a2＋c2|＋|x－2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab＋bc＋ac＝1.
(1)当b＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)当x∈R时，求证f(x)≤g(x)．
解析(1)由题意，当b＝1时，f(x)＝|x＋b2|－|－x＋1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，x≤－1，,2x，－1<x<1，,2，x≥1，))
当x≤－1时，f(x)＝－2<1，不等式f(x)≥1无解，不等式f(x)≥1的解集为∅；
当－1<x<1时，f(x)＝2x，由不等式f(x)≥1，解得x≥eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)≤x<1；
当x≥1时，f(x)＝2≥1恒成立，
所以不等式f(x)≥1的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)当x∈R时，f(x)＝|x＋b2|－|－x＋1|
≤|x＋b2＋(－x＋1)|＝|b2＋1|＝b2＋1；
g(x)＝|x＋a2＋c2|＋|x－2b2|
≥|x＋a2＋c2－(x－2b)2|
＝|a2＋c2＋2b2|＝a2＋c2＋2b2.
而a2＋c2＋2b2－(b2＋1)＝a2＋c2＋b2－1
＝eq\f(1,2)(a2＋c2＋b2＋a2＋c2＋b2)－1
≥ab＋bc＋ac－1＝0，
当且仅当a＝b＝c