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专题跟踪训练(三十三)不等式选讲 1.(2018·广州二模)设函数f(x)=|2x+3|+|x-1|. (1)解不等式f(x)>4; (2)若∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(3,2))),不等式a+1<f(x)恒成立,求实数a的取值范围. [解](1)∵f(x)=|2x+3|+|x-1|, ∴f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3x-2,x<-\f(3,2),,x+4,-\f(3,2)≤x≤1,,3x+2,x>1,)) f(x)>4⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<-\f(3,2),,-3x-2>4)) 或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)≤x≤1,,x+4>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1,,3x+2>4)) ⇔x<-2或0<x≤1或x>1. ∴不等式f(x)>4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞). (2)由(1)知,当x<-eq\f(3,2)时,f(x)=-3x-2, ∵当x<-eq\f(3,2)时,f(x)=-3x-2>eq\f(5,2), ∴a+1≤eq\f(5,2),即a≤eq\f(3,2). ∴实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(3,2))). 2.(2018·河南新乡二模)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式f(x)≤2的解集; (2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围. [解](1)由f(x)≤2,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1,,2-2x≤2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<4,,0≤2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥4,,2x-8≤2,))解得0≤x≤5,故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]. (2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-2x,x≤1,,0,1<x<4,,2x-8,x≥4,)) 作出函数f(x)的图象,如图所示, 易知直线y=kx-2过定点C(0,-2), 当此直线经过点B(4,0)时,k=eq\f(1,2); 当此直线与直线AD平行时,k=-2. 故由图可知,k∈(-∞,-2)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)). 3.(2018·大庆二模)已知f(x)=|x+3|+|x-1|,g(x)=-x2+2mx. (1)求不等式f(x)>4的解集; (2)若对任意的x1,x2,f(x1)≥g(x2)恒成立,求m的取值范围. [解](1)解法一:不等式f(x)>4即|x+3|+|x-1|>4. 可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,,x+3+x-1>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-3<x<1,,x+3+1-x>4)) 或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤-3,,-3-x+1-x>4,)) 解得x<-3或x>1,所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}. 解法二:|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4, 当且仅当(x+3)(x-1)≤0,即-3≤x≤1时,等号成立. 所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}. (2)依题意可知f(x)min≥g(x)max, 由(1)知f(x)min=4, 因为g(x)=-x2+2mx=-(x-m)2+m2, 所以g(x)max=m2. 由m2≤4得m的取值范围是-2≤m≤2. 4.(2018·西安一模)设a、b为正实数,且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2eq\r(2). (1)求a2+b2的最小值; (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值. [解](1)由2eq\r(2)=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))得ab≥eq\f(1,2), 当a=b=eq\f(\r(2),2)时取等号. 故a2+b2≥2ab≥1,当a=b=eq\f(\r(2),2)时取等号. 所以a2+b2的最小值是1. (2)由eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=2eq\r(2)可得a+b=2eq\r(2)ab, ∵(a-b)2=(a+b)2-