群的自同构群.docx

§8群的自同构群

给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定
群的任何一个正规子群，就可以产生一个商群，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群
的方法。

1.自同构群的定义：
定理1设是一个有代数运算的集合（不必是群），则的
全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为的自同构群。
证明设是的任意两个自同构，则，有，
即也是的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换
的乘法封闭。
又因为有，故

即也是的一个自同构。群的定义的第3条成立。
另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，
群的定义的第1、2条也成立。所以，的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意：前面有的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为，称为的对称群。定理1表明的自同构群是
的一个子群。

推论1群（在定理1中取）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群的自同构群，记作
。由上面，如果，则。

例1求Klein四元群

的自同构群。
解。由于是自同构，必有（幺元变成幺元）。又由于是双射，因此，其中
是的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据的运算特点，可以验证这些全排列都是的自同构。例如，设，则可以验证它是的自同构:,
,.
由于的全排列共有6个，与同构，因此的全体自同构也有6个，。

2.循环群的自同构群
定理2（1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群；
（2）阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中
是欧拉函数（即小于且与互素的正整数的个数）。
证明由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，
而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如，
设是由生成的循环群，则当是小于且与互素的正整数时，也是的生成元，即。此时，令
，，则有，且时，，
，
即是的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，阶循环群只有个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和阶的群。

例2（1）求，，4阶循环群的自同构群。
解，两个生成元为，从而，其中
是恒等置换，。
（2）求，，5阶循环群的自同构群。
，4个生成元为，从而，其中，是恒等置换，，
，。

推论2无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同
构。
证明由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。

注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可
以相同。

3.内自同构群
定理3设是一个群，，则
（1）是的一个自同构，称为的内自同构；
（2）的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为
的内自同构群，记为；
（3）。
证明（1）易知是的一个双射变换。又
，
所以是的一个自同构。
（2）设与是的任何两个自同构，则，
，
即有仍是一个内自同构，此表明关于变换的乘法封闭。又易知，且是幺元，
结合律显然成立，所以关于变换的乘法作成一个群。
（3），。令，即，
则，
由的任意性有，所以。

注意：设，则有，即，亦即对的任何内自同构都保持不变；反之，若的一个子群有此性质，则它必是的正规子群。这就是说，的正规子群就是对的任何内自同构都保持不变的子群：
。
因此，也常称正规子群为不变子群。

群的中心：称为群的中心，即群的中心就是与的所有元素都可交换的元素组成的集合。
根据中心的定义，显然有。

定理4.
证明利用同态基本定理。令
，，
显然，这样定义的是满射。由定理3知，即
，所以是满同态。又
。
由同态基本定理，有

注意：定理4表明，要求的内自同构群，只需求出
的中心，再作商群,即得，所以求一个群的内自同构群相对容易些。但是要求出一个群的自同构群，一般来说是非常困难的。这是因为，在大多数情况下，一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。例如，由例1知，交换群的自同构群可以是非交换群，；推论2表明，不同构的群它们的自同构群可以同构。
但是，有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。

定理4.设是由生成的阶循环群，是素数，则
是阶的群，且。
这里，乘法指模乘法。
证明略。

4。正规子群的推广
前面有，正规子群就是对的所有内自同构都保持不变的子群，将这一概念推广就得到：
（1）特征子群：对群的所有自同构都保持不变的子群叫做的一个特征子群，即都有。

例3，任何群的中心都是的特征子群。
证明只需证明都有，亦即，都有。验证：，

，
所以，结论成立。
注意：显然，特征子群一定是正规子群；但反之不成立，
即正规子群不一定是特征子群。
例如，取，，则（是交换群）。取，，则前面例1已验证是的一个自同构，对此自同构
，
所以不是特征子群。

（2）全特征子群：设。如果对的所有自同态都保持不变，即对的每个自同态都有，则称为
的一个全特征子群。
例4证明：循环群的子群都是全特征