自适应滤波LMS与RLS的matlab实现.docx

MATLAB仿真实现LMS和RLS算法的二阶AR模型
及仿真结果分析

一、题目概述：二阶AR模型如图1a所示，可以如下差分方程表示：
（1）

图1a
其中，v(n)是均值为0、方差为0.965的高斯白噪声序列。a1，a2为描述性参数，设x(-1)=x(-2)=0，权值w10=w20=0，μ=0.04①推导最优滤波权值（理论分析一下）。②按此参数设置，由计算机仿真模拟权值收敛曲线并画出，改变步长在此模拟权值变化规律。③对仿真结果进行说明。④应用RLS算法再次模拟最优滤波权值。

解答思路：
（1）高斯白噪声用normrnd函数产生均值为0、方差为0.965的正态分布随机1*N矩阵来实现。随后的产生的信号用题目中的二阶AR模型根据公式（1）产生，激励源是之前产生的高斯白噪声。
（2）信号长度N取为2000点，用以观察滤波器权值变化从而估计滤波器系数，得到其收敛值。
（3）仿真时分别仿真了单次LMS算法和RLS算法下的收敛性能以及100次取平均后的LMS和RLS算法的收敛性能，以便更好的比较观察二者的特性。
（4）在用不同的分别取3个不同的μ值仿真LMS算法时，μ值分别取为0.001,0.003,0.006；用3个不同的λ值仿真RLS算法时λ值分别取为1,0.98,0.94，从而分析不同步长因子、不同遗忘因子对相应算法收敛效果的影响。

二、算法简介
1．自适应算法的基本原理
自适应算法的基本信号关系如下图所示：

图SEQ图\*ARABIC1b自适应滤波器框图
输入信号x(n)通过参数可调的数字滤波器后产生输出信号y(n)，将其与参考信号d(n)进行比较，形成误差信号e(n)。e(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终是e(n)的均方值最小。当误差信号e(n)的均方误差达到最小的时候，可以证明信号y(n)是信号d(n)的最佳估计。
2.LMS算法简介
LMS算法采用平方误差最小的原则代替最小均方误差最小的原则，信号基本关系如下：（2）
写成矩阵型式为：
（3）
式（3）中，W(n)为n时刻自适应滤波器的权值，，N为自适应滤波器的阶数，本设计中取为2000；X(n)为n时刻自适应滤波器的参考输入矢量，由最近N个信号采样值构成，；d(n)是期望的输出值；e(n)为自适应滤波器的输出误差调节信号(简称失调信号)；μ是控制自适应速度与稳定性的增益常数，又叫收敛因子或步长因子。
3．RLS算法简介
RLS算法是用二乘方的时间平均的最小化准则取代最小均方准则，并按时间进行迭代计算。其基本原理如下所示：
：遗忘因子，它是小于等于1的正数。
参考信号，也可称为期望信号。
第n次迭代的权值。
均方误差。
RLS算法的准则为：
（4）
上式越旧的数据对的影响越小。通过计算推导得到系数的迭代方程为：
wn=wn-1+kne*(n)（5）
式(5)中，增量k(n)和误差e*(n)计算公式如下：
(6)
e*n=d*n-xTn*w(n-1)（7）
式（6）中T(n)=R-1n，也就是当前时刻自相关矩阵的逆。
按如下方式更新：
=(-**)/（8）
由上边分析可知，RLS算法递推的步骤如下：
在时刻n，和也已经存储在滤波器的相应器件中
利用公式（5）、（6）、（7）和（8）计算T(n)、w(n)、k(n)、e*n，并得到滤波器的输出相应和误差即：
（9）
（10）
进入第次迭代
这样做的优点是收敛速度快，而且适用于非平稳信号的自适应处理
缺点是每次迭代时都要知道输入信号和参考信号，计算量比较大

三、仿真过程
仿真过程按照如下过程进行
信号产生：首先产生高斯白噪声序列w(n)，然后将此通过一个参数为a1=-0.195，a2=0.95简单的二阶自回归滤波器生成信号。
（2）将step（1）生成的信号通过LMS和RLS自适应滤波器进行处理
（3）通过改变μ值对w1,w2收敛速度的影响来分析LMS算法的性能以及通过改变λ值对w1,w2收敛速度的影响来分析RLS算法的性能。
（4）绘制相应图形曲线

四、仿真以及结果分析
信号和高斯白噪声波形如图2所示：

图2信号和高斯白噪声波形
图2中，上边的图形为信号波形，下边的为加性高斯白噪声。

图3（a）LMS算法下单次收敛曲线

图3(b)LMS算法下百次平均收敛曲线

分析1：
图3中，a、b两幅图分别为单次实现的LMS算法下最优权值变化过程和100次仿真实现后取平均值做的图，两个权值初始值由已知条件设置为0，之后收敛到两个定值。
a图展现了滤波器权系数迭代更新的过程，可以发现其并不是平滑的变化，而是随机起伏的，跟最陡下降法不一样，这充分说明了其权向量是一个随机过程向量,梯度噪声对其产生了一定的影响。
b图给出了100次独立实验得到的平均权向量的估计，即，其中是第t次独立实验中第n次迭代得到