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基于LMS和RLS算法的自适应FIR滤波器仿真
一、自适应滤波原理
自适应滤波器是指利用前一时刻的结果，自动调节当前时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的特性，得到有效的输出，主要由参数可调的数字滤波器和自适应算法两部分组成，如图1.1所示

图1.1自适应滤波器原理图
x(n)称为输入信号，y(n)称为输出信号，d(n)称为期望信号或者训练信号，e(n)为误差僖号，其中，e(n)=d(n)-y(n)，自适应滤波器的系数(权值)根据误差信号e(n)，通过一定的自适应算法不断的进行更新，以达到使滤波器实际输出y(n)与期望响应d(n)之间的均方误差最小。
二、自适应算法
自适应算法中使用最广的是下降算法，下降算法的实现方式有两种：自适应梯度算法和自适应高斯-牛顿算法。自适应高斯-牛顿算法包括RLS算法及其改进型，自适应梯度算法的典型例子即是LMS算法[1]。
1.LMS算法
最陡下降算法不需要知道误差特性曲面的先验知识，其算法就能收敛到最佳维纳解，且与起始条件无关。但是最陡下降算法的主要限制是它需要准确测得每次迭代的梯度矢量，这妨碍了它的应用。为了减少计算复杂度和缩短自适应收敛时间许多学者对这方面的新算法进行了研究。1960年，美国斯坦福大学的Windrow等提出了最小均方（LMS）算法，这是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即

可见，这种瞬时估计法是无偏的，因为它的期望值E[]确实等于矢量。所以，按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以先写出LMS算法的公式如下：

将式e(n)=d(n)-y(n)和e(n)=d(n)-wHx(n)代入到上式中，可得到

图2.1自适应LMS算法信号流图
由上式可以得到自适应LMS算法的信号流图，这是一个具有反馈形式的模型，如图2-1所示。如同最陡下降法，我们利用时间n=0的滤波系数矢量为任意的起始值w(0),然后开始LMS算法的计算，其步骤如下。
(1)由现在时刻n的滤波器滤波系数矢量估值，输入信号矢量x(n)以及期望信号d(n)，计算误差信号：

(2)利用递归法计算滤波器系数矢量的更新估值：

将时间指数n增加1，回到步骤(1)，重复上述计算步骤，一直到达稳态为止。由此可见，自适应LMS算法简单，它既不要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆，因而得到了广泛的应用。但是，由于LMS算法采用梯度矢量的瞬时估计，它有大的方差，以致不能获得最优滤波性能[2]。
2.RLS算法
递推最小二乘(RLS)算法是一种在自适应迭代的每一步都要求最优的迭代算法，滤波器输出信号法，滤波器输出信号等于输入信号与冲激响应序列的卷积和，即
(2-1)
误差信号。由此可以得到自适应横向滤波器按最小均方准则设计的代价函数
(2-2)
式中与分别为自适应滤波器的期望相应于输出信号。为误差信号。其目的在于确保滤波器能够忘记“过去的”数据以确保算法适用于非平稳的环境，n为可变的数据长度。
将式（2-1）带入式(2-2)并展开，得到
(2-3)
式中M=N。为了简短地表示滤波器地代价函数，将上示中有关项定义为以下参数：
确定性相关函数表示输入信号在抽头k与抽头m之间两信号的相关性，即：

(2)确定性相互关系函数表示期望响应与在抽头k输入信号之间的互相关姓，即：

(3)期望响应序列的能量为：

将上述定义的三个参数代入式(2-3)中，得到

为了估算滤波器的最佳滤波器系数,把上示对滤波器系数(权系数)微分一次，并令其导数等于零:

得到

这是最小二乘法自适应滤波的正则方程，其所用输入信号确定性自相关函数，期望响应序列与输入信号之间的确定性互相关函数都是在有限观察范围内的时间平均值，而不是总体平均(数学期望)值。
(2-4)
式中为M×l维最小均方估计的滤波器系数，为延迟线抽头输入信号的确定性相关函数M×M维矩阵，为冲激响应序列与输入信号之间确定性互相关函数M×l维矢量。假定矩阵是非奇异的，其逆矩阵存在，则由(2-4)求得最小平方自适应滤波的权矢量为

式中，是确定性相关矩阵之逆。确定性相关函数表达式可以重新写成

这是一个更新确定性相关函数的递推方程。相关函数更新公式可以写成矩阵形式:

式中，矩阵代表相关函数的更新校正项。为了计算方便。令

则

这里矢量称之为增益矢量。如果将上式两边右乘以延迟线抽头输入信号矢量。得到

简化为：

可得到时间递归形式：

表示确定性互相关函数递归计算方程式中的更新校正项。由上式可以得到确定性互相关矢量递归计算公式:

将代入上式得到：

得到滤波系数矢量的递归计算公式为：

式中，是真正的估计误差，

RLS算法的主要优点是收敛速度快，且对自相关矩阵特征值的分散性不敏感，其缺点是计算量比较大。
三、仿真模型：

图3.1自适应FIR滤波