选修45不等式选讲.docx

【2013年高考会这样考】
1．考查含绝对值不等式的解法．
2．考查有关不等式的证明．
3．利用不等式的性质求最值．
【复习指导】
本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.

基础梳理
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；
(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

5．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．
双基自测
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．
答案(－4，－2)∪(0,2)
2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．
解析令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，x≤4，,－2x＋12，4＜x≤8，,－4，x＞8，))
当x≤4时，f(x)＝4＞2；
当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5，
∴4＜x＜5；
当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立．
故原不等式的解集为：{x|x＜5}．
答案{x|x＜5}
3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．
解析∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.
答案k＜1
4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
解析由|3x－b|＜4，得eq\f(b－4,3)＜x＜eq\f(b＋4,3)，
即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤\f(b－4,3)＜1，,3＜\f(b＋4,3)≤4，))解得5＜b＜7.
答案(5,7)
5．(2011·南京模拟)如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是________．
解析在数轴上，结合实数绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
答案(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
考向一含绝对值不等式的解法
【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
[审题视点]第(1)问：采用分段函数解不等式；第(2)问：画出函数f(x)的图象可求f(x)的最小值．
解(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(1,2)))，,3x－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x＜4))，,x＋5x≥4.))
当x＜－eq\f(1,2)时，由f(x)＝－x－5＞2得，x＜－7.∴x＜－7；
当－eq\f(1,2)≤x＜4时，由f(x)＝3x－3＞2，得x＞eq\f(5,3)，
∴eq\f(5,3)＜x＜4；
当x≥4时，由f(x)＝x＋5＞2，得x＞－3，∴x≥4.

故原不等式的解集为
eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－7或x＞\f(5,3))))).
(2)画出f(x)的图象如图：
∴f(x)min＝－eq\f(9,2).
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，