空间解析几何与向量代数.docx

第七章空间解析几何与向量代数
1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.
解答：（1）xOy面：，yOz面：，zOx面：；
（2）x轴：，y轴：，z轴：；
（3）
所属章节：第七章第一节
难度：一级

2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.
解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为，
点（4，－3，5）到轴的距离为，
点（4，－3，5）到轴的距离为，
点（4，－3，5）到轴的距离为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

3．把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标.
解答：设分点坐标为，则由条件，解得，即所求分点坐标为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

4．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a，求各顶点的坐标.
解答：各顶点的坐标为：
所属章节：第七章第一节
难度：一级

5．在yOz平面上求一点，使它与点A（3，1，2），点B（4，－2，－2）和点C（0，5，1）的距离相等.
解答：设所求点为，则由条件有，故
，
解得.即所求点为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

6．在z轴上求一点，使它到点A（－4，1，7）和点B（3，5，－2）的距离相等.
解答：设所求点为，则由条件有，故
，
解得.即所求点为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

7．已知向量a和b的夹角为60°，且试求和
解答：由于，代入已知条件，即可得
；
又由于，故.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

8．设向量a和b的夹角为，且试求：
（1）
（2）
解答：（1）；
（2）.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

9．设其中向量a和b的夹角为，试求及.
解答：；
由于，
所以.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

10．设且问：
（1）k为何值时，
（2）k为何值时，A与B为邻边的平行四边形面积为6.
解答：(1)要使，则，即，代入条件即，解得；
（2）要使以A与B为邻边的平行四边形面积为6，即，代入条件即，解得或
所属章节：第七章第四节
难度：二级

11．已知向量a+3b垂直于向量7a－5b,向量a－4b垂直于向量7a－2b,试求向量a与b的夹角.
解答：因为a+3b^7a-5b，a-4b^7a-2b，所以(a+3b)×(7a-5b)=0,(a-4b)×(7a-2b)=0，
即7|a|2+16a×b-15|b|2=0,7|a|2-30a×b+8|b|2=0，
由以上两式可得
,
于是，.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

12．设求：
解答：.
所属章节：第七章第四节
难度：二级

13．设试求下列各向量的坐标：
（1）（2）（3）
解答：（1）；
（2）；
（3）.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

14．求向量的模以及它与坐标轴之间的夹角.
解答：；
与坐标轴的夹角余弦分别为，
故与坐标轴的夹角分别为.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

15．已知一向量的起点是A(2,－2,5),终点是B(－1,6,7),试求：
（1）向量在各坐标轴上的投影；
（2）向量的模和方向余弦；
（3）的单位向量.
解答：由于向量，所以
（1）向量在各坐标轴上的投影为
（2）向量的模，
方向余弦为；
（3）的单位向量.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

16．已知向量的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标.
解答：终点坐标为.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

17．已知向量的终点为B（2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A的坐标.
解答：起点A的坐标.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

18．已知向量求与同向的单位向量.
解答：由于，
单位化，与同向的单位向量为.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

19．设向量且，试求l与m的值.
（题目与解答不统一）如果题目中向量为，则答案为即原参考答案，下面按原题解答.
参考答案：
解答：由于，所以，解得或.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

20．已知向量试求与
解答：；
.
所属章节：第七章第四节
难度：一级

21．已知和，试求向量在向量上的投影.
解答：，，.
所属章节：第七章第四节
难度：一级

22．设直线L通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L的距离.
解答：设，点到直线的距离为，则

利用，，解得
.
所属章节：第七章第四节
难度：二级

23．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点.
解答：设，所求点为，由题意知，即，解得.
所属章节：第七章第四节
难度：一级

24．求以向量为相邻三棱的平行六面体的体积.
解答：由于，所以所求六面体的体积