空间向量及其坐标运算B.docx

9.7空间向量及其坐标运算（B）

●知识梳理
1.若SKIPIF1<0=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量SKIPIF1<0的坐标，也叫点P的坐标.
2.设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），
那么a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2），
a·b=x1x2+y1y2+z1z2，
cos〈a，b〉=SKIPIF1<0.
3.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2），
则|M1M2|=SKIPIF1<0.
4.对非零向量a与b，有
a∥bSKIPIF1<0a=kb；a⊥bSKIPIF1<0a·b=0.
●点击双基
1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则
A.x=1，y=1 B.x=SKIPIF1<0，y=－SKIPIF1<0 C.x=SKIPIF1<0，y=－SKIPIF1<0 D.x=－SKIPIF1<0，y=SKIPIF1<0
解析：∵a=（2x，1，3）与b=（1，－2y，9）共线，故有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.
∴x=SKIPIF1<0，y=－SKIPIF1<0.应选C.
答案：C
2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是
①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A.3 B.2 C.1 D.0
解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）.故①②③错误.
答案：C
3.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是
A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0
解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2a－b=2（1，1，0）－
（－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0.∴k=SKIPIF1<0.
答案：D
4.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角θ的大小是_________.
解析：SKIPIF1<0=（－2，－1，3），SKIPIF1<0=（－1，3，－2），
cos〈SKIPIF1<0，SKIPIF1<0〉=SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0=－SKIPIF1<0，∴θ=〈SKIPIF1<0，SKIPIF1<0〉=120°.
答案：120°
5.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，则|SKIPIF1<0|的值是__________.
解析：设点P（x，y，z），则由SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），即SKIPIF1<0则|SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.
答案：SKIPIF1<0
●典例剖析
【例1】已知SKIPIF1<0=（2，2，1），SKIPIF1<0=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.
即SKIPIF1<0∴n=（SKIPIF1<0，－1，1），单位法向量n0=±SKIPIF1<0=±（SKIPIF1<0，－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.
解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n⊥SKIPIF1<0且n⊥SKIPIF1<0，即n·SKIPIF1<0=0，且n·SKIPIF1<0=0，即
2x+2y+1=0，
4x+5y+3=0，
特别提示
一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.
【例2】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=SKIPIF1<0，SB=SKIPIF1<0.
（1）求证：SC⊥BC；
（